vijf keer in het oog
Eind 2020 vonden er verschillende evenementen plaats op universiteiten en scholen die werden uitgesteld vanaf... maart. Eén daarvan was de ‘viering’ van Pi-dag. Over dit onderwerp heb ik op 8 december een lezing op afstand gegeven aan de Universiteit van Silezië, en dit artikel is een samenvatting van de lezing. Het hele feest begon om 9.42 uur en mijn lezing staat gepland om 10.28 uur. Waar komt deze nauwkeurigheid vandaan? Het is simpel: 3 keer pi is ongeveer 9,42, en pi tot de 2e macht is ongeveer 9,88, en het uur 9 tot de 88e macht is 10 tot de 28e macht...
De gewoonte om dit nummer te eren is die de verhouding uitdrukt tussen de omtrek van een cirkel en zijn diameter en wordt soms de constante van Archimedes genoemd (en ook in Duitstalige culturen), afkomstig uit de VS (zie ook: ). 3.14 maart “American style” om 22:22, vandaar het idee. Het Poolse equivalent zou 7 juli kunnen zijn omdat de breuk 14/XNUMX π goed benadert, wat… Archimedes al wist. Nou, XNUMX maart is de beste tijd voor side-events.
Deze drie- en veertienhonderdsten zijn een van de weinige wiskundige boodschappen die we de rest van ons leven van school krijgen. Iedereen weet wat dat betekent"vijf keer in de ogen". Het zit zo in de taal verankerd dat het moeilijk is om het op een andere en sierlijke manier uit te drukken. Toen ik bij een autoreparatiewerkplaats vroeg hoeveel een reparatie zou kosten, dacht de monteur even na en zei: “vijf keer ongeveer achthonderd zloty.” Ik besloot van de situatie te profiteren. ‘Bedoel je een ruwe benadering?’ De monteur dacht waarschijnlijk dat ik het niet goed hoorde, dus herhaalde hij: “Ik weet niet precies hoeveel, maar vijf keer op het oog zal het 800 zijn.”
.
Waar gaat het over? In de spelling van vóór de Tweede Wereldoorlog werd 'nee' door elkaar gebruikt, en daar liet ik het bij. We hebben hier niet te maken met overdreven hoogdravende poëzie, hoewel ik het idee wel leuk vind dat 'het gouden schip geluk brengt'. Vraag de leerlingen: Wat betekent deze gedachte? Maar de waarde van deze tekst ligt ergens anders. Het aantal letters in de volgende woorden zijn de cijfers van de uitbreiding van pi. Laten we eens kijken:
Π ≈ 3,141592 653589 793238 462643 383279 502884 197169 399375 105820 974944 592307 816406 286208 998628 034825 342117 067982 148086 513282 306647 093844 609550 582231 725359 408128 481117 450284 XNUMX
In 1596, een Nederlandse wetenschapper van Duitse afkomst Ludolf van Seulen berekende de waarde van pi tot op 35 decimalen nauwkeurig. Deze figuren werden vervolgens op zijn graf gegraveerd. Ze wijdde een gedicht aan het getal pi en onze Nobelprijswinnaar, Wyslava Szymborska. Szymborska was gefascineerd door de niet-periodiciteit van dit getal en het feit dat met waarschijnlijkheid 1 elke reeks getallen, bijvoorbeeld ons telefoonnummer, daar zal verschijnen. Hoewel de eerste eigenschap inherent is aan elk irrationeel getal (dat we van school moeten onthouden), is de tweede een interessant wiskundig feit dat moeilijk te bewijzen is. Je kunt zelfs apps vinden die aanbieden: geef me je telefoonnummer en ik vertel je waar het in pi staat.
Waar rondheid is, is slaap. Als we een rond meer hebben, dan is er 1,57 keer langer omheen lopen dan zwemmen. Dit betekent natuurlijk niet dat we anderhalf tot twee keer langzamer gaan zwemmen dan we kunnen passeren. Ik deelde het wereldrecord op de 100 meter met het wereldrecord op de 100 meter. Interessant is dat bij mannen en vrouwen het resultaat bijna hetzelfde is en 4,9 is. We zwemmen 5 keer langzamer dan dat we rennen. Roeien is totaal anders - maar een interessante uitdaging. Het heeft een behoorlijk lange verhaallijn.
Op de vlucht voor de achtervolgende schurk, zeilde de knappe en nobele Good One naar het meer. De slechterik rent langs de kust en wacht tot ze hem laat landen. Natuurlijk rent hij sneller dan Dobry rows, en als hij soepel rent, is Dobry sneller. Dus de enige kans voor Evil is om Good vanaf de kust te krijgen - een nauwkeurig schot van een revolver is geen optie, omdat. Good heeft waardevolle informatie die Evil wil weten.
De strategie van Good is als volgt. Hij zwemt langs het meer en nadert geleidelijk de kust, maar probeert altijd aan de andere kant van de Boze te zijn, die chaotisch naar links en naar rechts rent. Dit wordt weergegeven op de afbeelding. Laat de uitgangspositie van Evil Z zijn1, en Dobre is het midden van het meer. Wanneer Zly naar Z verhuist1, Good zal naar D zwemmen.1als Bad in Z zit2, Goed op D2. Het zal zigzaggend stromen, maar met inachtneming van de regel: zo ver mogelijk van Z. Maar naarmate het zich van het midden van het meer verwijdert, moet Goed zich in steeds grotere cirkels bewegen en op een gegeven moment kan het de stroom niet vasthouden. principe van ‘aan de andere kant van het kwaad staan’. Toen roeide hij uit alle macht naar de kust, in de hoop dat de Boze niet rond het meer zou gaan. Zal Goed slagen?
Het antwoord hangt af van hoe snel Good kan roeien in verhouding tot de kosten van Bad's benen. Stel dat de Slechte persoon met een snelheid rent die één keer de snelheid is van de Goede persoon op het meer. Bijgevolg heeft de grootste cirkel waarin het Goede kan roeien om het Kwaad te weerstaan, een straal die een keer kleiner is dan de straal van het meer. Dus in de tekening hebben we dat. Bij punt W begint onze Dobry richting de kust te roeien. Dit moet weg
met snelheid
Hij heeft tijd nodig.
De boze achtervolgt iedereen met zijn beste benen. Hij moet de halve cirkel voltooien, wat hem seconden of minuten kost, afhankelijk van de gekozen eenheid. Als dit meer is dan een happy end:
De goede zal vertrekken. Eenvoudige rekeningen laten zien wat het zou moeten zijn. Als een Slecht persoon sneller dan 4,14 keer sneller rent dan een Goed persoon, eindigt het slecht. En hier komt ons pi-nummer ook in het spel.
Wat rond is, is mooi. Laten we eens kijken naar de foto van drie decoratieve borden - ik heb ze naar mijn ouders. Wat is de oppervlakte van de kromlijnige driehoek daartussen? Dit is een eenvoudige taak; het antwoord staat op dezelfde foto. Het verbaast ons niet dat het in de formule voorkomt - tenslotte, waar rondheid is, is pi.
Ik gebruikte een mogelijk onbekend woord:. Dit is de naam van het getal pi in de Duitstalige cultuur, en dit allemaal dankzij de Nederlanders (eigenlijk een Duitser die in Nederland woonde - nationaliteit deed er toen niet toe), Ludolf van Seulena... In 1596 gr. hij berekende 35 cijfers van de uitbreiding naar decimalen. Dit record duurde tot 1853, toen Willem Rutherford telde 440 plaatsen. De recordhouder voor handmatige berekeningen is (waarschijnlijk voor altijd) Willem Shanks, die na vele jaren werk publiceerde (in 1873) uitbreiding naar 702 cijfers. Pas in 1946 bleken de laatste 180 cijfers onjuist te zijn, maar dat bleven zo. 527 juist. Het was interessant om de bug zelf te vinden. Kort na de publicatie van het resultaat vermoedde Shanks dat "er iets mis was" - er waren verdacht weinig zevens in ontwikkeling. Een nog onbewezen (december 2020) hypothese stelt dat alle getallen met gelijke frequentie zouden moeten verschijnen. Dit was voor D. T. Ferguson aanleiding om de berekeningen van Shanks te heroverwegen en een studentenfout te ontdekken!
Later hielpen rekenmachines en computers mensen. De huidige (december 2020) recordhouder is Timotheus Mullican (50 biljoen decimalen). De berekeningen duurden... 303 dagen. Laten we eens spelen: hoeveel ruimte zou dit getal innemen als het in een standaardboek zou worden afgedrukt? Tot voor kort bedroeg de afgedrukte ‘zijde’ van de tekst 1800 tekens (30 regels van 60 regels). Laten we het aantal tekens en paginamarges verminderen, 5000 tekens op een pagina proppen en boeken van 50 pagina's afdrukken. Zo zouden XNUMX biljoen karakters tien miljoen boeken in beslag nemen. Niet slecht, toch?
De vraag is: wat is het nut van zo’n strijd? Waarom zou de belastingbetaler, vanuit puur economisch oogpunt gezien, moeten betalen voor dergelijk ‘entertainment’ van wiskundigen? Het antwoord is niet ingewikkeld. Eerst, van Seulen heeft blanco's voor berekeningen uitgevonden, en dan handig voor logaritmische berekeningen. Als ze tegen hem zeiden: bouw alsjeblieft blanco's, zou hij antwoorden: waarom? Soortgelijke opdracht: Zoals u weet was deze ontdekking niet geheel toevallig, maar nog steeds een bijproduct van andersoortig onderzoek.
Ten tweede, laten we lezen wat hij schrijft Timotheus Mullican. Hier is een reproductie van het begin van zijn werk. Professor Mullican werkt in cyberbeveiliging, en pi-nummers zijn een kleine hobby waarbij hij eenvoudigweg zijn nieuwe cyberbeveiligingssysteem aan het testen was.
Maar dat 3,14159 in de techniek ruim voldoende is, dat is een andere zaak. Laten we een eenvoudige berekening maken. Jupiter bevindt zich op 4,774 Tm afstand van de Zon (terameter = 1012 meter). Om de omtrek van zo'n cirkel met zo'n straal met een absurde nauwkeurigheid van 1 millimeter te berekenen, zou het voldoende zijn om π = 3,1415926535897932 te nemen.
De volgende foto toont een kwart cirkel gemaakt van Legoblokjes. Ik gebruikte 1774-pads en het was pi rond 3,08. Niet de beste, maar wat kun je verwachten? Van vierkanten kan geen cirkel worden gemaakt.
Precies. Het getal π staat bekend om het feit dat vierkant cirkel - een wiskundig probleem dat al meer dan 2000 jaar op zijn oplossing wacht - sinds de Griekse tijd. Kun je een passer en liniaal gebruiken om een vierkant te construeren waarvan de oppervlakte gelijk is aan de oppervlakte van de gegeven cirkel?
De term ‘vierkant van een cirkel’ is ook in de omgangstaal terechtgekomen als symbool voor iets onmogelijks. Ik druk op de toets om te vragen: is dit een soort poging om de geul van vijandigheid te vullen die de burgers van ons prachtige land verdeelt? Maar ik mijd dit onderwerp al, omdat ik waarschijnlijk alleen maar een goed gevoel heb bij wiskunde.
En nogmaals hetzelfde - de oplossing voor het probleem van het kwadrateren van de cirkel verscheen niet op zo'n manier dat de auteur van de oplossing, Charles Lindeman, in 1882 was hij vastbesloten en slaagde uiteindelijk. Tot op zekere hoogte wel, maar dat was het resultaat van een aanval van een breed front. Wiskundigen hebben geleerd dat getallen in verschillende typen voorkomen. Niet alleen hele getallen, rationeel (dat wil zeggen breuken) en irrationeel. Onmeetbaarheid kan ook beter of slechter zijn. We herinneren ons misschien van school dat een irrationeel getal √2 is, een getal dat de verhouding uitdrukt tussen de lengte van de diagonaal van een vierkant en de lengte van de zijde ervan. Zoals elk irrationeel getal heeft het een onbepaalde uitbreiding. Laat me je eraan herinneren dat periodieke expansie een eigenschap is van rationale getallen, d.w.z. privé gehele getallen:
Hier herhaalt zich oneindig de reeks getallen 142857. Voor √2 zal dit niet gebeuren - dit maakt deel uit van de irrationaliteit. Maar je kan:
(de factie gaat voor altijd door). We zien hier een patroon, maar van een ander type. Pi is niet eens zo gebruikelijk. Het kan niet worden verkregen door het oplossen van een algebraïsche vergelijking, dat wil zeggen een vergelijking waarin geen vierkantswortel, geen logaritme, geen trigonometrische functies voorkomen. Dit laat al zien dat het niet construeerbaar is: het tekenen van cirkels leidt tot kwadratische functies, en lijnen - rechte lijnen - tot vergelijkingen van de eerste graad.
Misschien ben ik afgeweken van het hoofdverhaal. Alleen de ontwikkeling van alle wiskunde maakte het mogelijk terug te keren naar de wortels – naar de eeuwenoude prachtige wiskunde van de denkers die voor ons de Europese denkcultuur creëerden, die voor sommigen vandaag de dag zo twijfelachtig is.
Uit een verscheidenheid aan representatieve patronen heb ik er twee gekozen. We associëren de eerste met de achternaam Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).
Maar hij was bekend (model, niet Leibniz) bij de middeleeuwse hindoeïstische geleerde Madhava van het Sangamagram (1350-1425). De overdracht van informatie was in die tijd niet geweldig - internetverbindingen hadden vaak fouten en er waren geen batterijen voor mobiele telefoons (omdat elektronica nog niet was uitgevonden!). De formule is mooi, maar nutteloos voor berekeningen. Van honderd ingrediënten wordt "slechts" 3,15159 verkregen.
hij is iets beter De formule van Viète (die uit kwadratische vergelijkingen), en de formule ervan is eenvoudig te programmeren omdat de volgende term in het product de wortel is van de vorige plus twee.
We weten dat de cirkel rond is. We kunnen zeggen dat dit een ronde van 100 procent is. Een wiskundige zal vragen: kan iets niet 1 procent rond zijn? Blijkbaar is dit een oxymoron, een uitdrukking die een verborgen tegenstrijdigheid bevat, zoals heet ijs. Maar laten we proberen te meten hoe rond de cijfers kunnen zijn. Het blijkt dat een goede maatstaf wordt gegeven door de volgende formule, waarin S de oppervlakte is en L de omtrek van de figuur. Laten we uitzoeken dat de cirkel echt rond is, dat sigma gelijk is aan 6. De oppervlakte van een cirkel is de omtrek. We voegen in... en kijken wat correct is. Hoe rond is een vierkant? De berekeningen zijn net zo eenvoudig, ik ga ze niet eens geven. Laten we een regelmatige zeshoek nemen, ingeschreven in een cirkel met een straal. De omtrek is uiteraard XNUMX.
Pool
Hoe zit het met een regelmatige zeshoek? De omtrek is 6 en de oppervlakte is
Dus we hebben
wat ongeveer gelijk is aan 0,952. De zeshoek is voor meer dan 95% "rond".
Een interessant resultaat wordt verkregen bij het berekenen van de rondheid van een sportstadion. Volgens de regels van de IAAF moeten rechte stukken en bochten 40 meter lang zijn, hoewel afwijkingen zijn toegestaan. Ik herinner me dat het Bislet Stadion in Oslo smal en lang was. Ik schrijf "was" omdat ik er zelfs op liep (voor een amateur!), Maar meer dan XNUMX jaar geleden. Laten we eens kijken:
Als een boog een straal van 100 meter heeft, is de straal van die boog meters. De oppervlakte van het gazon bedraagt vierkante meters, en de oppervlakte daarbuiten (waar springplanken staan) bedraagt vierkante meters. Laten we dit in de formule stoppen:
Heeft de rondheid van een sportstadion iets te maken met een gelijkzijdige driehoek? Omdat de hoogte van een gelijkzijdige driehoek hetzelfde aantal keren de zijde is. Het is een willekeurige samenloop van getallen, maar het is leuk. Ik vind het leuk. Hoe zit het met de lezers?
Nou, het is goed dat het rond is, hoewel sommigen misschien beweren dat het virus dat ons allemaal treft, rond is. Zo tekenen ze het tenminste.
