Omgekeerde charme

Er wordt veel gesproken over de "charme van tegenstellingen", en niet alleen in de wiskunde. Onthoud dat tegengestelde getallen die zijn die alleen in teken verschillen: plus 7 en min 7. De som van tegengestelde getallen is nul. Maar voor ons (d.w.z. wiskundigen) zijn de wederkerigheid interessanter. Als het product van getallen gelijk is aan 1, dan zijn deze getallen omgekeerd aan elkaar. Elk getal heeft zijn tegendeel, elk getal dat niet gelijk is aan nul heeft zijn inverse. Het wederkerige van het wederkerige is het zaad.

Inversie vindt plaats waar twee grootheden aan elkaar gerelateerd zijn, zodat als de ene toeneemt, de andere met een overeenkomstige snelheid afneemt. "Relevant" betekent dat het product van deze grootheden niet verandert. We herinneren ons van school: dit is een omgekeerde verhouding. Als ik twee keer zo snel op mijn bestemming wil komen (d.w.z. de tijd wil halveren), moet ik mijn snelheid verdubbelen. Als het volume van een afgesloten vat met gas n keer kleiner wordt, dan neemt de druk n keer toe.

In het basisonderwijs maken we zorgvuldig onderscheid tussen differentiële en relatieve vergelijkingen. "Hoeveel meer"? – “Hoeveel keer meer?”

Hier zijn enkele schoolactiviteiten:

1-taak. Van de twee positieve waarden is de eerste 5 keer groter dan de tweede en tegelijkertijd 5 keer groter dan de eerste. Wat zijn de afmetingen?

2-taak. Als een getal 3 groter is dan het tweede, en het tweede getal 2 groter is dan het derde, hoeveel groter is dan het eerste getal dan het derde? Als het eerste positieve getal tweemaal het tweede is en het eerste getal driemaal het derde, hoeveel keer is het eerste getal dan groter dan het derde?

3-taak. In taak 2 zijn alleen natuurlijke getallen toegestaan. Is een dergelijke opstelling zoals daar beschreven mogelijk?

4-taak. Van de twee positieve waarden is de eerste 5 keer de tweede en de tweede 5 keer de eerste. Is dit mogelijk?

Het concept van "gemiddeld" of "gemiddeld" lijkt heel eenvoudig. Als ik op maandag 55 km fietste, op dinsdag 45 km en op woensdag 80 km, fietste ik gemiddeld 60 km per dag. Wij zijn het van harte eens met deze berekeningen, hoewel ze een beetje vreemd zijn omdat ik geen 60 km op een dag heb gereden. Wij accepteren net zo makkelijk de aandelen van een persoon: als tweehonderd mensen binnen zes dagen een restaurant bezoeken, dan is het gemiddelde dagtarief 33 en een derde persoon. Hm!

Er zijn alleen problemen met de gemiddelde grootte. Ik hou van fietsen. Dus maakte ik gebruik van het aanbod van het reisbureau "Let's go with us" - ze leveren bagage af bij het hotel, waar de klant voor recreatieve doeleinden fietst. Op vrijdag heb ik vier uur gereden: de eerste twee met een snelheid van 24 km per uur. Toen werd ik zo moe dat voor de volgende twee tegen een tarief van slechts 16 per uur. Wat was mijn gemiddelde snelheid? Natuurlijk (24+16)/2=20km=20km/u.

Op zaterdag werd de bagage echter in het hotel achtergelaten en ging ik naar de ruïnes van het kasteel, dat 24 km verderop ligt, en nadat ik ze had gezien, keerde ik terug. Ik reed een uur in één richting, keerde langzamer terug, met een snelheid van 16 km per uur. Wat was mijn gemiddelde snelheid op de route hotel-kasteel-hotel? 20 km per uur? Natuurlijk niet. Ik heb tenslotte in totaal 48 km gereden en ben er een uur (“daar”) en anderhalf uur terug over bezig. 48 km in twee en een half uur, d.w.z. uur 48/2,5=192/10=19,2 km! In deze situatie is de gemiddelde snelheid niet het rekenkundig gemiddelde, maar de harmonische van de gegeven waarden:

en deze formule met twee verdiepingen kan als volgt worden gelezen: het harmonische gemiddelde van positieve getallen is de reciproke van het rekenkundige gemiddelde van hun reciproque. De reciproque van de som van de reciproques komt voor in veel refreinen van schoolopdrachten: als de ene arbeider uren graaft, de andere - b uren, dan graven ze samen op tijd. waterbad (een per uur, de andere om b uur). Als de ene weerstand R1 heeft en de andere R2, dan hebben ze een parallelle weerstand. 

Als de ene computer een probleem in seconden kan oplossen, een andere computer in b seconden, dan werken ze samen...

Stop! Hier houdt de analogie op, want alles hangt af van de snelheid van het netwerk: de efficiëntie van de verbindingen. Ook kunnen werknemers elkaar hinderen of helpen. Als één man in acht uur een put kan graven, kunnen tachtig arbeiders het dan in 1/10 van een uur (of 6 minuten) doen? Als zes dragers de piano in 6 minuten naar de eerste verdieping brengen, hoe lang duurt het dan voordat een van hen de piano naar de zestigste verdieping brengt? De absurditeit van dergelijke problemen doet denken aan de beperkte toepasbaarheid van alle wiskunde op problemen "uit het leven".

beste verkoper 

De weegschaal wordt niet meer gebruikt. Bedenk dat een gewicht op de ene schaal van dergelijke schalen werd geplaatst en de goederen die werden gewogen op de andere werden geplaatst, en toen het gewicht in evenwicht was, wogen de goederen evenveel als het gewicht. Natuurlijk moeten beide armen van de gewichtsbelasting even lang zijn, anders is de weging niet correct.

O juist. Stel je een verkoper voor die een gewicht heeft met een ongelijke invloed. Hij wil echter eerlijk zijn tegenover de klanten en weegt de goederen in twee batches. Eerst plaatst hij een gewicht op de ene pan en op de andere een overeenkomstige hoeveelheid goederen - zodat de weegschaal in evenwicht is. Vervolgens weegt hij de tweede "helft" van de goederen in omgekeerde volgorde, dat wil zeggen, hij plaatst het gewicht op de tweede schaal en de goederen op de eerste. Omdat de handen ongelijk zijn, zijn de "helften" nooit gelijk. En het geweten van de verkoper is zuiver en kopers prijzen zijn eerlijkheid: "Wat ik hier heb verwijderd, heb ik toen toegevoegd."

Laten we echter eens nader kijken naar het gedrag van een verkoper die ondanks het onzekere gewicht eerlijk wil zijn. Stel dat de armen van de weegschaal de lengtes a en b hebben. Als een van de schalen is beladen met een kilogramgewicht en de andere met x goederen, dan is de weegschaal in evenwicht als ax = b de eerste keer en bx = a de tweede keer. Het eerste deel van de goederen is dus gelijk aan b / a kilogram, het tweede deel is a / b. Goed gewicht heeft a = b, dus de koper ontvangt 2 kg goederen. Laten we eens kijken wat er gebeurt als a ≠ b. Dan a – b ≠ 0 en uit de gereduceerde vermenigvuldigingsformule die we hebben

We kwamen tot een onverwacht resultaat: de ogenschijnlijk eerlijke methode van "middeling" van de meting werkt in dit geval in het voordeel van de koper, die meer goederen ontvangt.

5-taak. (Belangrijk, zeker niet in de wiskunde!). Een mug weegt 2,5 milligram en een olifant vijf ton (dit zijn vrij correcte gegevens). Bereken het rekenkundig gemiddelde, het geometrische gemiddelde en het harmonische gemiddelde van de massa's (gewichten) van muggen en olifanten. Controleer de berekeningen en kijk of ze zinvol zijn naast rekenoefeningen. Laten we eens kijken naar andere voorbeelden van wiskundige berekeningen die in het "echte leven" nergens op slaan. Tip: We hebben in dit artikel al naar een voorbeeld gekeken. Betekent dit dat een anonieme student wiens mening ik op internet vond gelijk had: "Wiskunde houdt mensen voor de gek met getallen"?

Ja, ik ben het ermee eens dat je in de grootsheid van de wiskunde mensen voor de gek kunt houden - elke tweede shampoo-advertentie zegt dat het de luchtigheid met een bepaald percentage verhoogt. Zullen we op zoek gaan naar andere voorbeelden van handige alledaagse hulpmiddelen die kunnen worden gebruikt voor criminele activiteiten?

gram!

De titel van deze passage is een werkwoord (eerste persoon meervoud) en geen zelfstandig naamwoord (nominatief meervoud van een duizendste van een kilogram). Harmonie impliceert orde en muziek. Voor de oude Grieken was muziek een tak van wetenschap - het moet worden toegegeven dat als we dat zeggen, we de huidige betekenis van het woord "wetenschap" overbrengen naar de tijd vóór onze jaartelling. Pythagoras leefde in de XNUMXe eeuw voor Christus en kende niet alleen de computer, mobiele telefoon en e-mail niet, maar wist ook niet wie Robert Lewandowski, Mieszko I, Karel de Grote en Cicero waren. Hij kende geen Arabische of zelfs maar Romeinse cijfers (ze kwamen in gebruik rond de XNUMXe eeuw voor Christus), hij wist niet wat de Punische oorlogen waren ... Maar hij kende muziek ...

Hij wist dat op snaarinstrumenten de trillingscoëfficiënten omgekeerd evenredig waren met de lengte van de trillende delen van de snaren. Hij wist het, hij wist het, hij kon het gewoon niet uitdrukken zoals wij het vandaag doen.

De frequenties van de twee snaartrillingen waaruit een octaaf bestaat, hebben een verhouding van 1:2, dat wil zeggen, de frequentie van de hogere noot is tweemaal de frequentie van de lagere. De juiste vibratieverhouding voor kwint is 2:3, vierde is 3:4, pure grote terts is 4:5, kleine terts is 5:6. Dit zijn prettige medeklinkerintervallen. Dan zijn er twee neutrale, met trillingsverhoudingen van 6:7 en 7:8, dan dissonante - een grote toon (8:9), een kleine toon (9:10). Deze breuken (verhoudingen) zijn als de verhoudingen van opeenvolgende leden van een reeks die wiskundigen (om deze reden) de harmonische reeks noemen:

is een theoretisch oneindige som. De verhouding van oscillaties van het octaaf kan worden geschreven als 2:4 en er een kwint tussen plaatsen: 2:3:4, dat wil zeggen, we zullen het octaaf verdelen in een kwint en een kwart. Dit wordt in de wiskunde harmonische segmentdeling genoemd:

Rijst. 1. Voor een muzikant: het octaaf AB verdelen in de kwint AC.Voor wiskundige: harmonische segmentatie

Wat bedoel ik als ik (hierboven) spreek over een theoretisch oneindige som, zoals de harmonische reeks? Het blijkt dat zo'n bedrag elk groot getal kan zijn, het belangrijkste is dat we lang optellen. Er zijn steeds minder ingrediënten, maar er zijn er steeds meer. Wat overheerst? Hier betreden we het domein van de wiskundige analyse. Het blijkt dat de ingrediënten op zijn, maar niet erg snel. Ik zal laten zien dat ik door voldoende ingrediënten te nemen, kan samenvatten:

willekeurig groot. Laten we "bijvoorbeeld" n = 1024 nemen. Laten we de woorden groeperen zoals weergegeven in de afbeelding:

In elk haakje is elk woord groter dan het vorige, behalve natuurlijk het laatste, dat gelijk is aan zichzelf. Tussen de volgende haakjes hebben we 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 en 512 componenten; de waarde van de som tussen haakjes is groter dan ½. Dit alles is meer dan 5½. Nauwkeurigere berekeningen zouden aantonen dat dit bedrag ongeveer 7,50918 is. Niet veel, maar altijd, en je kunt zien dat ik door n een groot getal te nemen beter kan presteren dan elk getal. Deze is ongelooflijk traag (we staan ​​bijvoorbeeld in de top tien met alleen ingrediënten), maar oneindige groei heeft wiskundigen altijd gefascineerd.

Reis naar het oneindige met de harmonische reeks

Hier is een puzzel voor behoorlijk serieuze wiskunde. We hebben een onbeperkte voorraad rechthoekige blokken (wat zal ik zeggen, rechthoekig!) met afmetingen, laten we zeggen, 4 × 2 × 1. Beschouw een systeem dat bestaat uit meerdere (op afb. 2 - vier) blokken, zo gerangschikt dat de eerste ½ van zijn lengte helt, de tweede van bovenaf met ¼ enzovoort, de derde met een zesde. Om het echt stabiel te maken, laten we de eerste steen iets minder kantelen. Voor berekeningen maakt het niet uit.

Rijst. 2. Bepalen van het zwaartepunt

Het is ook gemakkelijk te begrijpen dat, aangezien de figuur die is samengesteld uit de eerste twee blokken (van bovenaf geteld) een symmetriecentrum heeft in punt B, B het zwaartepunt is. Laten we geometrisch het zwaartepunt van het systeem definiëren, bestaande uit de drie bovenste blokken. Een heel eenvoudig argument volstaat hier. Laten we de compositie van drie blokken mentaal verdelen in twee bovenste en een derde onderste. Dit middelpunt moet liggen op het gedeelte dat de zwaartepunten van de twee delen verbindt. Op welk punt in deze aflevering?

Er zijn twee manieren om aan te duiden. In het eerste zullen we de waarneming gebruiken dat dit centrum in het midden van de drieblokkenpiramide moet liggen, d.w.z. op een rechte lijn die het tweede, middelste blok doorsnijdt. Op de tweede manier begrijpen we dat aangezien de twee bovenste blokken een totale massa hebben van twee keer die van een enkel blok #3 (boven), het zwaartepunt op dit gedeelte twee keer zo dicht bij B moet liggen als bij het midden S van het derde blok. Op dezelfde manier vinden we het volgende punt: we verbinden het gevonden middelpunt van de drie blokken met het middelpunt S van het vierde blok. Het midden van het hele systeem bevindt zich op hoogte 2 en op het punt dat het segment deelt door 1 tot 3 (dat wil zeggen door ¾ van zijn lengte).

De berekeningen die we een beetje verder zullen uitvoeren, leiden tot het resultaat getoond in Fig. Afb. 3. Opeenvolgende zwaartepunten worden verwijderd van de rechterrand van het onderste blok door:

De projectie van het zwaartepunt van de piramide bevindt zich dus altijd binnen de basis. De toren zal niet omvallen. Laten we nu eens kijken afb. 3 en laten we even het vijfde blok van boven als basis gebruiken (het blok gemarkeerd met de helderdere kleur). Top hellend:

dus de linkerrand is 1 verder dan de rechterrand van de basis. Hier is de volgende schommel:

Wat is de grootste schommel? Weten we al! Er is geen beste! Als je zelfs de kleinste blokken neemt, kun je een overhang van een kilometer krijgen - helaas, alleen wiskundig: de hele aarde zou niet genoeg zijn om zoveel blokken te bouwen!

Rijst. 3. Voeg meer blokken toe

Nu de berekeningen die we hierboven hebben achtergelaten. We zullen alle afstanden "horizontaal" op de x-as berekenen, want dat is alles. Punt A (het zwaartepunt van het eerste blok) is 1/2 van de rechterrand. Punt B (het midden van het systeem met twee blokken) is 1/4 verwijderd van de rechterrand van het tweede blok. Laat het beginpunt het einde van het tweede blok zijn (nu gaan we verder met het derde). Waar is bijvoorbeeld het zwaartepunt van enkelvoudig blok #3? De helft van de lengte van dit blok is daarom 1/2 + 1/4 = 3/4 van ons referentiepunt. Waar is punt C? In tweederde van het segment tussen 3/4 en 1/4, d.w.z. op het punt ervoor, veranderen we het referentiepunt naar de rechterrand van het derde blok. Het zwaartepunt van het systeem met drie blokken wordt nu verwijderd van het nieuwe referentiepunt, enzovoort. Zwaartepunt C_n een toren die uit n blokken bestaat, is 1/2n verwijderd van het momentane referentiepunt, dat de rechterrand is van het basisblok, d.w.z. het n-de blok vanaf de bovenkant.

Omdat de reeks van reciproque waarden divergeert, kunnen we elke grote variatie krijgen. Zou dit daadwerkelijk gerealiseerd kunnen worden? Het is als een eindeloze bakstenen toren - vroeg of laat zal het instorten onder zijn eigen gewicht. In ons schema zorgen de minimale onnauwkeurigheden in de plaatsing van blokken (en de langzame toename van deelsommen van de reeks) ervoor dat we niet ver komen.