We splitsen in tweeën
2019. is geen priemgetal. De som van de cijfers is 2 + 0 + 1 + 9 = 12, wat betekent dat het getal deelbaar is door 3. Een priemgetal zal lang moeten wachten, tot 2027. Toch zullen maar heel weinig lezers van deze aflevering de tweeëntwintigste eeuw bereiken. Maar zo zijn ze zeker in deze wereld, vooral de eerlijke seks. Ik ben jaloers? Niet echt... Maar ik moet schrijven over wiskunde. De laatste tijd schrijf ik steeds meer over het basisonderwijs.
Kan een cirkel in twee gelijke helften worden verdeeld? Zeker. Wat zijn de namen van de onderdelen die u ontvangt? Ja, halve cirkel. Is het bij het verdelen van een cirkel door één lijn (één snede) nodig om een lijn door het middelpunt van de cirkel te trekken? Ja. Of misschien niet? Onthoud dat dit één snede is, één rechte lijn.
Rechtvaardig je geloof. En wat betekent "rechtvaardigen"? Wiskundig bewijs is iets anders dan "bewijs" in juridische zin. De advocaat moet de rechter overtuigen en zo de Hoge Raad dwingen de cliënt onschuldig te verklaren. Het is voor mij altijd onaanvaardbaar geweest: hoeveel het lot van de beklaagde afhangt van de welsprekendheid van de "papegaai" (zo typeren we de advocaat een beetje minachtend). Bent u ervan overtuigd dat elke rechte lijn die door het midden van de cirkel verdeelt ze in gelijke delen? Ben je ervan overtuigd dat je, om de cirkel in gelijke delen van één rechte lijn te verdelen, deze door het midden moet trekken?
Voor een wiskundige is geloof alleen niet genoeg. Het bewijs moet formeel zijn en de stelling moet de laatste formule zijn in de logische volgorde van de aanname. Dit is een vrij complex concept, dat in het dagelijks leven bijna niet te implementeren is. Misschien is dit waar: rechtszaken en vonnissen gebaseerd op "wiskundige logica" zouden gewoon ... zielloos zijn. Blijkbaar gebeurt dit steeds vaker. Maar ik wil alleen wiskunde.
Zelfs in de wiskunde kan formeel bewijs van eenvoudige dingen problematisch zijn. Hoe beide overtuigingen over het verdelen van de cirkel te bewijzen? Eenvoudiger dan de eerste is dat elke lijn die door het midden gaat de cirkel in twee gelijke delen verdeelt. Je kunt dit zeggen: laten we de figuur omdraaien van afb. 1 180 graden. Dan wordt het groene vakje blauw en het blauwe vakje groen. Daarom moeten ze gelijke vierkanten hebben. Trek je een lijn die niet door het midden gaat, dan is een van de velden duidelijk kleiner.
Driehoeken en vierkanten
Dus laten we verder gaan vierkant. Hebben we hetzelfde als:
- elke lijn die door het midden van het vierkant gaat, het in twee gelijke delen verdeelt?
- Als een rechte lijn een vierkant in twee gelijke delen verdeelt, moet deze dan door het midden van het vierkant gaan?
Zijn we hier zeker van? De situatie is anders dan bij het wiel (2-7).
laten we gaan naar gelijkzijdige driehoek. Hoe snij je het doormidden? Eenvoudig - snijd gewoon de bovenkant af en loodrecht op de basis (8). Ik herinner je eraan dat de basis van een driehoek elk van zijn zijden kan zijn, zelfs de hellende. De snede gaat door het midden van de driehoek. Deelt een lijn die door het middelpunt van een driehoek gaat deze doormidden?
Nee! kijk naar afb. 9. Elk van de gekleurde driehoeken heeft hetzelfde gebied (waarom?), dus de bovenkant van de grote driehoek heeft vier delen en het onderste deel vijf. De verhouding van velden is niet 1:1, maar 4:5.
Wat als we de basis in bijvoorbeeld vier delen verdelen en de gelijkzijdige driehoek verdelen met een snede door het midden en een punt op een kwart van de basis? Lezer, dat ziet u afb. 10 de oppervlakte van de "turquoise" driehoek 9/20 is van de oppervlakte van de hele driehoek? Je kan niet zien? Jammer, dat laat ik aan jou over om te beslissen.
Eerste vraag - leg uit hoe het is: ik verdeel de basis in vier gelijke delen, trek een rechte lijn door het scheidingspunt en het middelpunt van de driehoek, en aan de andere kant krijg ik een vreemde verdeling, in een verhouding van 2: 3 ? Waarom? kun je het berekenen?
Of bent u, lezer, dit jaar afgestudeerd aan de middelbare school? Zo ja, bepaal dan op welke positie van de rijen de verhouding van velden minimaal is? Je weet het niet? Ik zeg niet dat je het nu meteen moet oplossen. Ik geef je twee uur.
Als je het niet oplost, dan... nou ja, veel succes met je eindexamen op de middelbare school. Ik kom op dit onderwerp terug.
Word onafhankelijk wakker
- Kun je verrast worden? Dit is de titel van een boek dat lang geleden is gepubliceerd door Delta, een maandelijks wiskundig, natuurkundig en astronomisch tijdschrift. Kijk eens naar de wereld om je heen. Waarom zijn er rivieren met een zandbodem (het water moet immers direct worden opgenomen!). Waarom zweven wolken door de lucht? Waarom vliegt het vliegtuig? (moet onmiddellijk vallen). Waarom is het in de bergen op de toppen soms warmer dan in de dalen? Waarom staat de zon 's middags in het noorden op het zuidelijk halfrond? Waarom is de som van de kwadraten van de schuine zijde gelijk aan het kwadraat van de schuine zijde? Waarom lijkt het lichaam af te vallen als het in water wordt ondergedompeld, omdat het water verplaatst?
Vragen, vragen, vragen. Ze zijn niet allemaal direct toepasbaar in het dagelijks leven, maar vroeg of laat zullen ze dat wel zijn. Beseft u het belang van de laatste vraag (over water verplaatst door een ondergedompeld lichaam)? Toen hij dit besefte, rende de oudere heer naakt door de stad en riep: "Eureka, ik heb het gevonden!" Hij ontdekte niet alleen de natuurkundige wet, maar bewees ook dat de juwelier van King Heron een vervalser was!!! Zie details in de diepten van het internet.
Laten we nu naar andere vormen kijken.
Zeshoek (11-14). Deelt een lijn die door het middelpunt gaat het doormidden? Moet de lijn die de zeshoek doorsnijdt door het middelpunt gaan?
Hoe zit het met Pentagon (15, 16)? Achthoek (17)? En voor ellipsen (18)?
Een van de tekortkomingen van schoolwetenschap is dat we lesgeven "in de negentiende eeuw" - we geven studenten een probleem en verwachten dat ze het oplossen. Wat is er slecht aan? Niets - behalve dat onze student over een paar jaar niet alleen zal moeten reageren op commando's die hij van iemand heeft "gekregen", maar ook problemen moet zien, taken moet formuleren, moet navigeren in een gebied waar nog niemand is gekomen.
Ik ben zo oud dat ik droom van zo'n stabiliteit: "Studie, John, maak schoenen, en je zult de rest van je leven als schoenmaker werken." Onderwijs als overgang naar de hoogste kaste. Interesse voor de rest van je leven.
Maar ik ben zo "modern" dat ik weet dat ik mijn studenten moet voorbereiden op beroepen die ... nog niet bestaan. Het mooiste wat ik kan en mag doen is leerlingen laten zien: ZAL JIJ JEZELF VERANDEREN? Zelfs op het niveau van elementaire wiskunde.
Zie ook:
