Gekleurde vierkanten en zonsverduisteringen

Het artikel beschrijft mijn lessen voor middelbare scholieren - beurshouders van het Nationaal Kinderfonds. De stichting zoekt speciaal begaafde kinderen en jongeren (van groep XNUMX van de basisschool tot de middelbare school) en biedt "beurzen" aan geselecteerde studenten. Ze bestaan ​​​​echter helemaal niet uit het opnemen van contant geld, maar uit uitgebreide zorg voor de ontwikkeling van talent, in de regel gedurende vele jaren. In tegenstelling tot veel andere projecten van dit type, nemen bekende wetenschappers, culturele figuren, prominente humanisten en andere wijzen, evenals sommige politici, de afdelingen van de Stichting serieus.

De activiteiten van de Stichting bestrijken alle disciplines die tot de basisschoolvakken behoren, met uitzondering van sport, inclusief kunst. De stichting werd in 1983 opgericht als tegengif voor de realiteit van die tijd. Iedereen kan een aanvraag indienen bij het fonds (meestal via een school, bij voorkeur vóór het einde van het schooljaar), maar er is uiteraard een bepaalde zeef, een bepaalde kwalificatieprocedure.

Zoals ik al zei, is het artikel gebaseerd op mijn masterclasses, specifiek in Gdynia, in maart 2016, op de 24e onderbouw van de derde middelbare school. Marine. Deze seminars worden al vele jaren georganiseerd onder auspiciën van de Stichting door Wojciech Tomalczyk, een leraar met een buitengewoon charisma en een hoog intellectueel niveau. In 2008 behoorde hij tot de top tien in Polen, die de titel van hoogleraar pedagogiek kregen (die vele jaren geleden door de wet werd vastgelegd). De uitspraak: “Onderwijs is de as van de wereld” is een beetje overdreven.

en de maan zijn altijd fascinerend - dan voel je dat we op een kleine planeet leven in een enorme ruimte, waar alles in beweging is, gemeten in centimeters en seconden. Ik schrik er zelfs een beetje van, ook het tijdsperspectief. We leren dat de volgende totale zonsverduistering, zichtbaar vanuit het gebied van het huidige Warschau, zal zijn in ... 2681. Ik vraag me af wie het zal zien? De schijnbare afmetingen van de zon en de maan aan onze hemel zijn bijna hetzelfde - daarom zijn verduisteringen zo kort en zo spectaculair. Eeuwenlang zouden die korte minuten voldoende moeten zijn voor astronomen om de zonnecorona te zien. Het is vreemd dat ze twee keer per jaar voorkomen... maar dat betekent alleen dat ze ergens op aarde voor een korte periode te zien zijn. Als gevolg van getijdenbewegingen beweegt de maan zich van de aarde af - over 260 miljoen jaar zal ze zo ver weg zijn dat wij (wij???) alleen ringvormige verduisteringen zullen zien.

Blijkbaar was hij de eerste die het voorspelde verduistering, was Thales van Milete (28-585 eeuw voor Christus). We zullen waarschijnlijk niet weten of het werkelijk heeft plaatsgevonden, dat wil zeggen of hij het heeft voorspeld, omdat het feit dat de zonsverduistering in Klein-Azië plaatsvond op 567 mei 566 v.Chr. een feit is dat wordt bevestigd door moderne berekeningen. Natuurlijk verstrek ik gegevens op basis van de tijdtelling van vandaag. Toen ik een kind was, stelde ik me voor hoe mensen de jaren telden. Dit is dus bijvoorbeeld XNUMX jaar voor Christus, oudejaarsavond komt en mensen verheugen zich: slechts XNUMX jaar voor Christus! Wat moeten zij blij zijn geweest toen „ons tijdperk” eindelijk aanbrak! Wat een mijlpaal beleefden wij een paar jaar geleden!

Wiskunde van het berekenen van datums en bereiken verduisteringen, is niet bijzonder complex, maar zit boordevol allerlei factoren die verband houden met de regelmaat en, erger nog, de oneffenheden van de orbitale beweging van het lichaam. Ik zou deze wiskunde zelfs graag willen weten. Hoe kon Thales van Miletus de noodzakelijke berekeningen maken? Het antwoord is eenvoudig. Je moet een sterrenkaart hebben. Hoe maak je zo’n kaart? Dit is ook niet moeilijk, de oude Egyptenaren wisten hoe ze het moesten doen. Om middernacht komen twee priesters het dak van de tempel op. Ieder van hen gaat zitten en tekent wat hij ziet (net als zijn collega). Tweeduizend jaar later weten we alles over de beweging van planeten...

Mooie geometrie, of leuk op het “kleedje”

De Grieken hielden niet van getallen; ze namen hun toevlucht tot geometrie. Dit is wat we zullen doen. Ons verduistering ze zullen eenvoudig en kleurrijk zijn, maar net zo interessant en echt. Laten we de afspraak aanvaarden dat de blauwe figuur zo beweegt dat hij de rode overschaduwt. Laten we het blauwe figuur de maan noemen en het rode figuur de zon. Wij zullen onszelf de volgende vragen stellen:

1. hoe lang duurt de zonsverduistering?
2. wanneer de helft van het doel bedekt is;

   Rijst. 1 Veelkleurig “tapijt” met zon en maan

3. wat is de maximale dekking;
4. Is het mogelijk om de afhankelijkheid van de schilddekking op tijd te analyseren? In dit artikel (ik ben beperkt door de lengte van de tekst) zal ik me concentreren op de tweede vraag. Er zit een mooie geometrie achter, misschien zonder de saaie berekeningen. Laten we eens kijken naar afb. 1. Kunnen we aannemen dat dit verband houdt met... een zonsverduistering?

Ik moet eerlijk zeggen dat de taken die ik ga bespreken speciaal geselecteerd zullen worden en aangepast zullen worden aan de kennis en vaardigheden van middelbare scholieren. Maar we trainen op taken zoals muzikanten die toonladders spelen en atleten die algemene ontwikkelingsoefeningen doen. Is het bovendien niet gewoon een mooi vloerkleed (Figuur 1)?

Rijst. 2 "Blauwe" Maan en "rode" Zon

Onze hemellichamen zullen, althans aanvankelijk, gekleurde vierkanten zijn. De maan is blauw, de zon is rood (het beste om te kleuren). Met het heden verduistering De maan jaagt de zon langs de hemel, haalt hem in... en bedekt hem. Bij ons zal het hetzelfde zijn. Het eenvoudigste geval is wanneer de maan ten opzichte van de zon beweegt, zoals weergegeven in figuur 2. 2. Een eclips begint wanneer de rand van de schijf van de maan de rand van de schijf van de zon raakt (Fig. XNUMX), en eindigt wanneer deze daar voorbij gaat.

Rijst. 3 De maan nadert de zon diagonaal

We gaan ervan uit dat de “Maan” één vakje per tijdseenheid beweegt, bijvoorbeeld per minuut. De zonsverduistering duurt dan acht tijdseenheden, zeg maar minuten. Half zonsverduisteringen geheel verduisterd.De helft van de wijzerplaat sluit tweemaal: na 2 en 6 minuten. De grafiek van het percentage duisternis is eenvoudig. Gedurende de eerste twee minuten sluit het schild gelijkmatig met een snelheid van nul tot 1, en gedurende de volgende twee minuten gaat het met dezelfde snelheid open.

Hier is een interessanter voorbeeld (Fig. 3). De maan nadert de zon diagonaal. Volgens onze afspraak per minuut duurt de zonsverduistering 8√2 minuten - in het midden van deze tijd hebben we een totale zonsverduistering. Laten we eens berekenen welk deel van de zon bedekt is na tijd t (fig. 3). Als er t minuten zijn verstreken sinds het begin van de zonsverduistering, en als gevolg daarvan is de Maan zoals getoond in Fig. 5, dan (let op!) Daarom is het bedekt (de oppervlakte van het vierkant APQR), gelijk aan de helft van de zonneschijf; daarom was het bedekt toen, d.w.z. na 4 minuten (daarna 4 minuten voor het einde van de zonsverduistering).

Rijst. 4 Grafiek van de functie “schaduw”.

Totaliteit duurt één moment (t = 4√2), en de grafiek van de functie “gearceerde deel” bestaat uit twee parabolische bogen (Fig. 4).

Onze blauwe Maan zal de hoek met de rode Zon raken, maar zal deze bedekken, niet diagonaal, maar enigszins diagonaal. Interessante geometrie verschijnt als we de beweging een beetje ingewikkelder maken (Fig. 6). De bewegingsrichting is nu vector [4,3], dat wil zeggen ‘vier cellen naar rechts, drie cellen naar boven’. De positie van de zon is zodanig dat de zonsverduistering begint (positie A) wanneer de zijkanten van de “hemellichamen” samenkomen tot een kwart van hun lengte. Wanneer de maan naar positie B beweegt, zal hij een zesde van de zon verduisteren, en op positie C zal hij de helft verduisteren. In positie D hebben we een totale zonsverduistering, en dan wordt alles terug naar “zoals het was.”

Rijst. 5 Een deel van de zon verborgen gedurende tijd t

Een zonsverduistering eindigt wanneer de maan in positie G staat. Deze duurde zo lang als sectielengte AG. Als we, zoals voorheen, de tijd nemen waarin de maan “één vierkant” passeert als tijdseenheid, dan is de lengte van AG gelijk. Als we terug zouden gaan naar de oude conventie dat onze hemellichamen 4 bij 4 zijn, zou het resultaat anders zijn (wat?). Zoals gemakkelijk kan worden aangetoond, wordt het doel gesloten na t < 15. De grafiek van de functie “percentage schermdekking” is te zien in Fig. 6.

Rijst. 6 Grafiek van de functie “beschermingspercentage”.

Eclipse en sprongvergelijking

Rijst. 7 Obstructie van de zonneschijf tijdens de zonsverduistering getoond in Fig. 6

Het probleem van verduisteringen zou onvolledig zijn als we het geval van cirkels niet zouden beschouwen. Dit is veel ingewikkelder, maar laten we proberen erachter te komen wanneer de ene cirkel de helft van de andere overschaduwt - en in het eenvoudigste geval wanneer een van hen langs de diameter beweegt die ze allebei verbindt. De tekening is bekend bij houders van creditcards.

Het berekenen van de positie van de velden is complex, omdat het ten eerste kennis vereist van de formule voor de oppervlakte van een cirkelsegment, ten tweede kennis van de boog van de hoek, en ten derde (en het ergste van alles) het vermogen om een ​​bepaalde sprongvergelijking op te lossen. Ik zal niet uitleggen wat een ‘transitieve vergelijking’ is; laten we naar een voorbeeld kijken (Fig. 8).

Rijst. 8 "Sferische" zonsverduistering

Het cirkelvormige gedeelte is de “kom” die overblijft als de cirkel in een rechte lijn wordt gesneden. De oppervlakte van zo’n segment is S = 1/2r²(φ-sinφ), waarbij r de straal van de cirkel is, en φ de centrale hoek is waarop het segment rust (Fig. 8). Dit wordt eenvoudig verkregen door de oppervlakte van de driehoek af te trekken van de oppervlakte van de cirkelsector.

Aflevering O₁O₂ (de afstand tussen de middelpunten van de cirkels) is dan 2rcosφ/2, en de hoogte (breedte, “taille”) h = 2rsinφ/2. Dus als we willen berekenen wanneer de maan de helft van de zonneschijf zal bedekken, moeten we de vergelijking oplossen: die, na vereenvoudiging, de vorm aanneemt:

Rijst. 9 Grafieken van twee functies

Het oplossen van dergelijke vergelijkingen gaat verder dan eenvoudige algebra: de vergelijking omvat zowel hoeken als hun trigonometrische functies. De vergelijking gaat verder dan het bereik van traditionele methoden. Daarom heet het springen. Laten we eerst de grafieken van beide functies bekijken, dat wil zeggen functies en functies. We kunnen de oplossing bij benadering uit deze figuur aflezen. We kunnen de benadering echter verkrijgen met behulp van een iteratieve methode of... gebruik de optie Oplosser in het Excel-spreadsheet. Iedere middelbare scholier zou dit moeten kunnen doen, want dit is de 20e eeuw. Ik heb een complexer Mathematica-gereedschap gebruikt, en hier is onze oplossing met onnodige decimalen voor precisie:

SetPrecision[FindRoot[x==Sin[x]+Pi/2,{x,2}],20] {x⇒2.3098814600100574523}.

Rijst. 10 Eclipse-animatie in matematica

Dit zetten we om naar graden door te vermenigvuldigen met 180/π. We krijgen 132 graden, 20 minuten, 45 en een kwart boogseconde. Laten we berekenen dat de afstand tot het middelpunt van de cirkel O is₁O₂ = 0,808 straal, en “taille” 2,310.