Verkiezingen en wiskunde, of verdeel en heers
Het keuzeprobleem heeft ons altijd geconfronteerd. De primitieve mens stond ook voor een dilemma: in welk licht moet hij leven? Aan de andere kant waren de verkiezingen voor stamleiders eenvoudiger: degene die de concurrent vermoordde, regeerde. Vandaag is het moeilijker. Het is ook goed.
De Latijnse zin die in de titel van het artikel wordt gebruikt, betekent "verdeel en heers". Het is altijd gebruikt. Veroorzaak een ruzie in een natie en het zal gemakkelijker voor je zijn om het te winnen. De Spaanse conquistadores van de 1990e en XNUMXe eeuw keerden vakkundig sommige indianenstammen tegen andere. Aan het einde van de XNUMXe eeuw heeft de Russische ambassadeur Repnin veel bereikt: hij wist onrust te zaaien in de laatste jaren van het onafhankelijke Polen. Dat deden de Britten in hun voormalige rijk ook, en de Joegoslavische oorlog van XNUMX begon met Serviërs die het opnemen tegen Kroaten en vice versa.
We kennen voorbeelden van het opzettelijk aanzetten tot conflicten binnen één land. Gelukkig is dit in het huidige Polen niet het geval. De regerende partij is een toonbeeld van zachtmoedigheid, terughoudendheid en gezond verstand, vol respect voor de oppositie, met respect voor de wet, de grondwet en de wil van de gewone man. Op het internationale forum winnen we, vaak met nul (een gedenkwaardige overwinning 27:0). Sportief zijn we goed bezig: we denken terug aan de dramatische hockeywedstrijd met Kameroen. Er zijn geen schandalen, politici zijn glashelder. Waar zitten hun eigen zakken in hun hoofd? De partij heeft de leiding. We zullen helpen!
Stop Stop. Wij zijn geen journalistiek tijdschrift. Laten we eens kijken hoe we het besluitvormingsproces kunnen ombuigen naar de grootsheid van wiskunde en... logica. Een volledige beschrijving zou een lange opgave zijn, meer journalistiek dan wetenschappelijk.
De volgende opties zijn mogelijk.
Ten eerste het manipuleren van de verdeling van het land in districten.
In de tweede plaats de keuze van de methode voor het omzetten van stemmen in parlementszetels of (bijvoorbeeld in het geval van presidentsverkiezingen) in kieszetels.
Ten derde: tolken wanneer stem belangrijk is en wanneer niet.
Ik heb het hier niet over duidelijke misbruiken zoals manipulatie van de onwetendheid van kiezers (voor de Poolse Volksrepubliek betekende een blanco stem stemmen op kandidaten die bovenaan de lijst staan), fraude bij het tellen van de stemmen en het verzenden van gegevens hierboven.
Ik zal beginnen . Wat is deze vreemde term? Ik leg het een beetje via een omweg uit.
Uw lezers kennen waarschijnlijk de score in tennis. We krijgen punten, games en sets. Om het spel te winnen, moet je minimaal vier ballen (punten) winnen, maar minimaal twee meer dan je tegenstander. De uitzondering is het tie-break-spel - het wordt gespeeld tot zeven winstpunten (ballen), ook met een voordeelregel voor twee ballen. De gewonnen ballen zijn vreemd genummerd: 15, 30, 40, dan gebruiken we alleen de termen “voordeel – balans”.
1. Links klassieke gerrymandering. De globale balans verandert in een overwinning voor de blauwe. Dat klopt: in elk district van het noordelijke district hebben de blues slechts 25% steun, in de rest nog steeds - maar dat maakt ze niet uit.
Edelstenen worden in sets verzameld. Om een set te winnen, moet je minimaal zes games hebben en minimaal twee meer dan je tegenstander. Bij een stand van 6:6 wordt meestal een tiebreak gespeeld. Wedstrijden worden gespeeld met twee of drie gewonnen sets. "Tot twee overwinningen" betekent dat degene die twee sets wint, wint. Het resultaat kan dus 2:0 of 2:1 zijn (en symmetrisch 0:2, 1:2). Deze regels houden in dat je niet meer ballen (punten) hoeft te winnen om het spel te winnen. Simpel gezegd, je moet de belangrijkste winnen. Een extreem voorbeeld is dat speler A de eerste set met 6-0 wint en de andere twee verliezen met 4-6. Verliest een wedstrijd ondanks het winnen van 14 games en zijn tegenstander 12.
Ik zal de aandacht vestigen op wat ik zojuist schreef. Er zijn meer en minder belangrijke momenten in tennis. Een goede tennisser concentreert zich op wat het belangrijkste is.
Het lot van miljoenen ligt in de klauwen van een salamander
Laten we verder gaan met de politieke verkiezingen. Meer in het algemeen gaat het om verkiezingen waar duizenden of miljoenen mensen over beslissen.
U moet eerst een land voor kiesdistricten hebben. Omdat? Maakt niet uit hoe? Oh nee! De eerste die uitvond hoe hij dit kon doen om de kansen van zijn eigen partij te vergroten was Elbridge Gerry, een Amerikaanse politicus van twee eeuwen geleden. Eén van de cirkels die hij voorstelde had de vorm van... een salamander, en de combinatie van zijn naam met deze amfibie met de staart leidde tot het verschijnen van de term. Het werkt redelijk goed met kiesdistricten met één lid, dus het is niet rechtstreeks van toepassing op Polen. Bij een meerkoppig kantoor is de situatie compleet anders. Je kunt van tijd tot tijd verbrand worden. Het is interessant.
2. Meester van fraude. Links: 40% mondiale steun resulteerde in een 4:2 overwinning. Rechts: Geometrie zal uitstekend werk leveren en 32% steun omzetten in een mondiale 4:3 overwinning.
Laten we ons dus een land voorstellen, dichtbevolkt en met zeer regelmatige grenzen: een perfect vierkant met kleine veldsteden erin. De stad en de burgemeestersverkiezing is de beste analogie, maar wiskundig maakt het niet uit. De regerende partij in het blauw heeft steun in de blauw gemarkeerde sectoren afb. 1. Groenen leiden in groene vierkanten. Omdat we het hebben over districten met één lid, maakt het niet uit wat het voordeel is. Wij zijn landelijk aangesloten, evenveel blauwe als groene vierkanten. Maar de blues regeren en verdelen het land in regio’s. Er zijn acht kiesdistricten (1). Wat zijn de stemresultaten? Niet verwacht! Blauwe spelers winnen in A, C, E, F, G, dat wil zeggen in vijf van de acht cirkels. In het geval van districten met één lid hebben ze landelijk een voordeel van 5:3 (mogelijk voor de hele stad als het burgemeestersverkiezingen zijn).
electorale geografie dit heeft een belangrijk voordeel voor een partij waar schandalen schering en inslag zijn. Laten we ons voorstellen dat er een schandaal uitbrak in kiesdistrict B - de burgemeester verduisterde budgetgeld en zei dat alles in orde was. Veel kiezers keerden hem de rug toe. Waren de stemmen vroeger bijna gelijk verdeeld (51:49 in het voordeel van de ene of de andere partij), nu kreeg in district B in elk klein district groen 75% en blauw slechts 25. Op landelijke schaal deed dit echter niet helemaal pijn (Tabel 1). Met behulp van een tennis-analogie verloren ze alleen een leeg punt.
| kiesdistrict | Donkerblauw | Zeloni | Wie wint er |
| A | 251 | 249 | Donkerblauw |
| B | 100 | 300 | Zeloni |
| C | 251 | 249 | Donkerblauw |
| D | 198 | 202 | Zeloni |
| E | 251 | 249 | Donkerblauw |
| F | 251 | 249 | Donkerblauw |
| G | 251 | 249 | Donkerblauw |
| H | 149 | 151 | Zeloni |
| Totaal aantal stemmen | 1702 | 1898 | van 5 naar 3 voor blauw |
Tabel 1. Aantal stemmen 1898: 1702 vóór de Groenen, maar 5: 3 zetels in het parlement voor de Blauwen! Bij Amerikaanse presidentsverkiezingen komt het voor dat de winnaar minder stemmen krijgt.
Het eenzitssysteem heeft zijn voor- en nadelen. Dit kwam voort uit de Engelse parlementaire traditie. Om het ‘winner-takes-all’-principe enigszins te beperken, is een verscheidenheid aan wiskundige formules voorgesteld. De meest voorkomende regel was 'grootste fractionele deel'. Laten we aannemen dat vier partijen A, B, C en D strijden in de regio Grodzisko Nadmor.Er zijn zeven plaatsen te winnen. Bij de verkiezingen kregen deze partijen respectievelijk 9934, 5765, 4031, 1999 en 21 stemmen; in totaal 729 XNUMX. Wij berekenen:
7∙9934/21729= 3,20
7∙5765/21729= 1,86
74031/21729= 1,30
7∙1999/21729= 0,64
Duidelijk; als het Gemenebest, zoals Prins Radziwiłł zegt in The Flood, een rode doek was, zouden de partijen het uit elkaar scheuren in de verhouding 320:186:130:64. Maar er zijn slechts zeven plaatsen om te delen. Percelen A verdienen drie plaatsen (omdat het quotiënt groter is dan 3), percelen B, C verdienen elk één plaats. Hoe kan ik de andere twee selecteren? De volgende oplossing wordt voorgesteld: om het te geven aan die partijen die "het minst een volledige stem missen", d.w.z. degenen met het grootste fractionele aandeel. Daarom vallen ze in delen B, D. Laten we het resultaat in een overzichtelijke grafiek weergeven Afb. 3.
Fig. 3 De “grootste fractionele deel”-methode. Coalitie B + C + D verslaat Partij A
Wat zullen de zogenaamde d'Ondts heerschappij? Ik bespreek dit nog even verder. Ik raad het aan als oefening. Resultaat aan afb. 4.
Fig.4 Resultaten van de d'Hondt-methode. Kant A regeert op zichzelf.
Voor de volgende eenvoudige oefening raad ik de lezers aan om zoiets als dit te doen: stel je voor dat partijen B, C en D het eens zijn en in één blok naar de stembus gaan - noem het E. Dan nemen ze, zoals de regel van d'Hondt suggereert, er een weg Partij A heeft een mandaat, d.w.z. het resultaat van A:E is 3:4. De conclusie staat al jaren bekend als een spreekwoord: instemming schept, onenigheid vernietigt.
Gelukkig zijn de voorbeelden die ik hier geef fictief en berust elke gelijkenis met bekende landen op louter toeval.
D'Ond
Hoe werkt de genoemde d'Hondt-methode? Een voorbeeld is hiervoor het beste. Stel dat een bepaald kiesdistrict stemde bij een verkiezing voor het Bisschoppelijk Parlement, zoals weergegeven. Tabel 2.
| Feest naam | Stemmen, N. | N / 2 | N / 3 | N / 4 | N / 5 |
| Partij voor Totale Welvaart | 10 000 | 5000 | 3333 | 2500 | 2000 |
| Partij van overvloed | 6600 | 3300 | 2200 | 1650 | 1320 |
| Locomotief van de vooruitgang | 4800 | 2400 | 1600 | 1200 | 960 |
| Fraudeurs en oplichters | 3600 | 1800 | 1200 | 900 | 720 |
Tabel 2. Stemresultaten in het district Klapucko Male voor de verkiezingen in Klapadoci.
Het bleek dat de partij van oplichters en Hochstaplers alleen zo succesvol was in de Klapucki Minor. Globaal gezien scoorden ze geen 5%, dus hun resultaten worden niet in aanmerking genomen. De rest plaatsen we één voor één, en niet te vergeten uit welke batch ze komen:
10 (PTD), 000 (SO), 6600 (PTD), 5000 (LP), 4800 (PTD), 3333 (SO), 3300 (PTD), 2500 (LP), 2400 (SO), etc. Wij wijzen tickets toe in de aangegeven volgorde. Het resultaat hangt grotendeels af van het aantal beschikbare tickets.
| 3 plaatsen | PTD 2, CO 1, LP 0 |
| 4 plaatsen | PTD 2, CO 1, LP 1 |
| 5 zitplaatsen | PTD 3, CO 1, LP 1 |
| 6 zitplaatsen | PTD 3, CO 2, LP 1 |
| 7 zitplaatsen | PTD 4, CO 2, LP 1 |
| 8 zitplaatsen | PTD 4, CO 2, LP 2 |
| 9 zitplaatsen | PTD 4, CO 3, LP 2 |
Tabel 3. Verdeling van plaatsen afhankelijk van hun aantal.
Ze zeggen dat een dergelijk systeem de resultaten verzacht en de mogelijke dominantie van één partij vermindert. De zaak is echter ingewikkelder. Het hangt allemaal af van de specifieke gegevens. Ik heb geen ruimte voor langere discussies; ik wil slechts twee interessante feiten opmerken:
1. Als fraudeurs en fraudeurs de nationale kiesdrempel hadden bereikt, zouden de resultaten misschien anders zijn geweest. Ze zouden niet veranderen als er drie of vier zetels te winnen waren, maar als vijf mensen uit het kiesdistrict in het parlement zouden komen, zou het resultaat zijn: PTD 2, CO 1, LP 1, O&G 1. De PTD-partij zou haar absolute recht verliezen. . meerderheid. Het werkt andersom: als een kleine fractie zich losmaakt van de partij, verliest iedereen, ook de andersdenkenden.
2. Als SO en PL met elkaar overweg zouden kunnen en samen naar de verkiezingen zouden gaan, zouden ze in geen enkel scenario slechter af zijn, en in de regel zelfs beter.
Laten we ook eens kijken hoe de d'Hondt-methode de situatie aanpakt afb. 2wanneer er twee of drie lege stoelen op de afdeling zijn. Ik wil u eraan herinneren dat dit in het geval van districten met één lid een sterke overwinning voor de Blues opleverde. Bij dubbels is er sprake van een totale nederlaag, maar bij triples wint hij weer.
| kiesdistrict | Donkerblauw | Zeloni | De d'Ondt-methode |
| A | 251 | 249 | Overbrengingsverhoudingen: 251/249; schema 1-1 |
| B | 100 | 300 | 300/100; 0-2 |
| C | 251 | 249 | 251/249; 1-1 |
| D | 198 | 202 | 202/198; 1-1 |
| E | 251 | 249 | 251/249; 1-1 |
| F | 251 | 249 | 251/249; 1-1 |
| G | 251 | 249 | 251/249; 1-1 |
| H | 149 | 151 | 151/149; 1-1 |
| Totaal aantal stemmen | 1702 | 1898 | Blauw 7 - Groen 9 |
Tabel 4. Situatie uit afb. 2, maar met districten met twee leden. Blues falen 7:9.
| kiesdistrict | Donkerblauw | Zeloni | De d'Ondt-methode |
| A | 251 | 249 | Overbrengingsverhoudingen: 251/249/125,5; schema 2-1 |
| B | 100 | 300 | 300/150/100; 0,5-2,5 |
| C | 251 | 249 | 251/249/125,5; 2-1 |
| D | 198 | 202 | 202/198/101; 1-2 |
| E | 251 | 249 | 251/249/125,5; 2-1 |
| F | 251 | 249 | 251/249/125,5; 2-1 |
| G | 251 | 249 | 251/249/125,5; 2-1 |
| H | 149 | 151 | 151/149/75,5; 1-2 |
| Totaal aantal stemmen | 1702 | 1898 | Blauw 12,5 - Groen 11,5 |
Tabel 5. Situatie uit afb. 2, maar met districten met drie leden.
Een van de kenmerken die ik opneem is ‘geometrie’ bij het classificeren van stemmen als belangrijk of onbelangrijk. In veel landen is het teken van goedkeuring een "vinkje", dat is een v en soms een Y. We hebben een x, die meer geassocieerd wordt met een doorhaling (en dus een afwijzing). De wetgever wilde dit verduidelijken en gaf een quasi-wiskundige definitie: “twee elkaar snijdende lijnen”, waarbij hij interpreteerde dat de twee lijnen van de letter v elkaar niet kruisen.
Ten eerste betekent 'kruisen' in de wiskunde 'een gemeenschappelijk punt hebben' - dit moet vooral worden geassocieerd met jongere mensen (onder de vijftig), want zo is de school nu. Als iemand echter niet in wiskunde gelooft, herinnert hij zich misschien dat een U-bocht op de weg ook een kruispunt is.
Het is beter om de onnauwkeurige definitie achterwege te laten: elk teken dat ondubbelzinnig duidt op de verkiezing van een kandidaat voor een ambt dat ooit eervol was, maar nu slechts een pejoratieve associatie heeft.
