Vergelijkingen, codes, cijfers, wiskunde en poëzie
Michal Shurek zegt over zichzelf: “Ik ben geboren in 1946. Ik ben in 1968 afgestudeerd aan de Universiteit van Warschau en sindsdien werk ik aan de faculteit Wiskunde, Informatica en Mechanica. Wetenschappelijke specialisatie: algebraïsche meetkunde. Ik heb onlangs te maken gehad met vectorbundels. Wat is een vectorbundel? De vectoren moeten dus stevig worden vastgebonden met een draad, en we hebben er al een heleboel. Mijn natuurkundige vriend Anthony Sim liet me lid worden van de Young Technician (hij geeft toe dat hij royalty's zou moeten krijgen van mijn vergoedingen). Ik schreef een paar artikelen en toen ben ik gebleven, en sinds 1978 kun je elke maand lezen wat ik van wiskunde vind. Ik hou van bergen en ondanks mijn overgewicht probeer ik te lopen. Ik denk dat docenten het belangrijkst zijn. Ik zou politici, wat hun opties ook zijn, in een zwaarbewaakt gebied houden zodat ze niet kunnen ontsnappen. Een keer per dag voeren. Een beagle uit Tulek mag me.
Een vergelijking is als een cijfer voor een wiskundige. Het oplossen van vergelijkingen, de kern van de wiskunde, is het lezen van cijfertekst. Dit wordt al sinds de XNUMXe eeuw opgemerkt door theologen. Johannes Paulus II, die wiskunde kende, schreef en noemde dit verschillende keren in zijn preken - helaas zijn de feiten uit mijn geheugen gewist.
In de schoolwetenschap wordt het gepresenteerd Pythagoras als auteur van een stelling over een bepaalde afhankelijkheid in een rechthoekige driehoek. Het werd dus onderdeel van onze eurocentrische filosofie. En toch heeft Pythagoras nog veel meer verdiensten. Hij was het die zijn studenten de verantwoordelijkheid oplegde om ‘de wereld te verkennen’, vanuit ‘wat zit er achter deze heuvel?’ voordat je de sterren gaat bestuderen. Dit is de reden waarom Europeanen oude beschavingen ‘ontdekten’, en niet andersom.
Sommige lezers herinneren zich "Viète-patronenEn"; veel oudere lezers herinneren zich de term zelf van school en ongeveer het feit dat de vraag in kwadratische vergelijkingen verscheen. Deze regelmatigheden zijn “ideologisch” encryptie informatie.
Geen wonder: één François Viette (1540-1603) hield zich bezig met cryptografie aan het hof van Hendrik IV (de eerste Franse koning uit de Bourbon-dynastie, 1553-1610) en wist de code te kraken die de Britten in de oorlog met Frankrijk gebruikten. Hij speelde dus dezelfde rol als de Poolse wiskundigen (onder leiding van Marian Rejewski), die vóór de Tweede Wereldoorlog de geheimen van de Duitse Enigma-encryptiemachine ontdekten.
mode thema
Precies. Het onderwerp ‘codes en cijfers’ is al lang in de mode in het onderwijs. Ik heb hier al meerdere keren over geschreven en over twee maanden volgt er nog een aflevering. Deze keer schrijf ik onder de indruk van een film over de oorlog van 1920, waar de overwinning grotendeels te danken was aan het overtreden van de code van de bolsjewistische troepen door een team onder leiding van de toen jonge Waclaw Sierpinski (1882-1969). Nee, dit is nog geen Enigma, dit is slechts een introductie. Ik herinner me een scène uit de film waarin Józef Pilsudski (gespeeld door Daniil Olbrychski) tegen het hoofd van de coderingsafdeling zegt:
De gedecodeerde berichten bevatten een belangrijke boodschap: de troepen van Toechatsjevski zouden geen steun krijgen. Je kunt aanvallen!
Ik kende Waclaw Sierpinski (als ik het mag zeggen: ik was een jonge student, hij was een beroemde professor), woonde zijn lezingen en seminars bij. Hij wekte de indruk van een verdorde wetenschapper, verstrooid, druk bezig met zijn vakgebied en de andere wereld niet ziend. Hij gaf specifiek lezingen, met zijn gezicht naar het bestuur en niet naar het publiek... maar hij voelde zich een uitstekende specialist. Op de een of andere manier had hij bepaalde wiskundige vaardigheden, bijvoorbeeld voor het oplossen van problemen. Er zijn anderen: wetenschappers die relatief slecht zijn in het oplossen van puzzels, maar een diep begrip hebben van de hele theorie en in staat zijn hele velden van creativiteit te initiëren. We hebben beide nodig, hoewel de eerste sneller zal gaan.
Waclaw Sierpinski sprak nooit over zijn prestaties in 1920. Tot 1939 moest dit absoluut geheim worden gehouden, en na 1945 genoten degenen die met Sovjet-Rusland vochten niet de sympathie van de toenmalige autoriteiten. Mijn overtuiging dat wetenschappers nodig zijn als een leger is bewezen: “voor het geval dat.” Hier belt president Roosevelt Einstein:
De uitstekende Russische wiskundige Igor Arnold zei openlijk en verdrietig dat de oorlog een grote invloed had op de ontwikkeling van wiskunde en natuurkunde (radar en GPS hadden ook een militaire oorsprong). Ik ga niet in op het morele aspect van het gebruik van de atoombom: hier is de verlenging van de oorlog met een jaar en de dood van enkele miljoenen van hun eigen soldaten - er is het lijden van onschuldige burgers.
***
Ik ren weg naar bekende gebieden - K. Velen van ons speelden met de codes, misschien op verkenning, misschien zomaar. Eenvoudige cijfers, gebaseerd op het principe van het vervangen van letters door andere letters of andere cijfers, worden routinematig verbroken als we maar een paar aanwijzingen opvangen (we raden bijvoorbeeld de naam van de koning). Statistische analyse helpt vandaag ook. Erger nog, als alles veranderlijk is. Maar het ergste is als er geen regelmaat is. Overweeg de code die wordt beschreven in The Adventures of the Good Soldier Schweik. Neem bijvoorbeeld een boek, De zondvloed. Dit zijn de suggesties op de eerste en tweede pagina.
We willen het woord "CAT" coderen. Open pagina 1 en de aangrenzende tweede. We zien dat op pagina 1 de letter K voor het eerst op de 59e plaats verschijnt. We vinden het negenenvijftigste woord aan de andere kant. Dit is het woord "een". Nu is de letter O. Aan de linkerkant staat het zestiende woord en het zestiende aan de rechterkant is 'Mr.' Als ik goed heb geteld, staat de letter T op de 16e plaats, en het vijfennegentigste woord van rechts is "o". Dus KAT = 95 HEER O.
Een "onraadbaar" cijfer, zij het pijnlijk traag, zowel voor de codering als... voor het raden. Laten we zeggen dat we de letter M willen overbrengen. We kunnen controleren of we deze coderen met het woord "Wołodyjowski". En na ons zijn ze al een gevangeniscel aan het voorbereiden. Wij kunnen alleen maar rekenen op een vervanger! Bovendien neemt de contraspionagedienst nota van berichten van geheime agenten dat klanten al geruime tijd bereidwillig het eerste deel van The Flood kopen.
Mijn artikel is een bijdrage aan dit proefschrift: zelfs de meest bizarre ideeën van wiskundigen kunnen toepassing vinden in de breed begrepen praktijk. Is het bijvoorbeeld mogelijk om een minder bruikbare wiskundige ontdekking voor te stellen dan de test van deelbaarheid... door 47?
Wanneer hebben we het nodig in het leven? En als dat zo is, zal het gemakkelijker zijn om te proberen het te scheiden. Als het verdeelt, dan is het goed, zo niet, dan... dan is het secundair goed (we weten dat het niet verdeelt).
Hoe te delen en waarom
Laten we na deze inleiding verder gaan met: Kent u, lezers, tekenen van deelbaarheid? Zeker. Even getallen eindigen op 2, 4, 6, 8 of nul. Een getal is deelbaar door drie als de som van de cijfers deelbaar is door drie. Evenzo, met het teken van deelbaarheid door negen - de som van de cijfers moet deelbaar zijn door negen.
Wie heeft het nodig? Ik zou liegen als ik de lezer ervan zou overtuigen dat hij goed was voor iets anders dan... schoolwerk. Nou ja, en ook het kenmerk van deelbaarheid door 4 (wat is dit, lezer? Misschien gebruik je het als je wilt weten in welk jaar de volgende Olympische Spelen vallen...). Maar hoe zit het met het kenmerk van deelbaarheid door 47? Dit is al hoofdpijn. Zullen we ooit weten of iets deelbaar is door 47? Zo ja, laten we dan een rekenmachine nemen en kijken.
Dit. Je hebt gelijk, lezer. Toch, lees verder. Alsjeblieft.
Bewijs van deelbaarheid door 47: Het getal 100+ is deelbaar door 47 als en slechts als 47 deelbaar is door +8.
De wiskundige zal tevreden glimlachen: "Goh, mooi." Maar wiskunde is wiskunde. Bewijs is belangrijk en we besteden aandacht aan de schoonheid ervan. Hoe onze eigenschap te bewijzen? Het is heel simpel. Trek van 100 + het getal 94 - 47 = 47 (2 -) af. We krijgen 100+-94+47=6+48=6(+8).
We hebben een getal afgetrokken dat deelbaar is door 47, dus als 6 (+ 8) deelbaar is door 47, dan is 100 + dat ook. Maar 6 is coprime tot 47, wat betekent dat 6 (+ 8) deelbaar is door 47 als en slechts als het gelijk is aan + 8. Einde van het bewijs.
Laten we zien Een paar voorbeelden.
8805685 is deelbaar door 47? Als we hier echt in geïnteresseerd zijn, zullen we het eerder weten door simpelweg onszelf te verdelen, zoals ons op de basisschool is geleerd. Op de een of andere manier heeft elke mobiele telefoon nu een rekenmachine. Verdeeld? Ja, privé 187355.
Laten we eens kijken wat het teken van deelbaarheid ons vertelt. We ontkoppelen de laatste twee cijfers, vermenigvuldigen ze met 8, voegen het resultaat toe aan het "afgeknotte getal" en doen hetzelfde met het resulterende getal.
8805685 → 88056 + 8 = 85 → 88736 + 887 = 8 → 36 + 1175 = 11 → 8 + 75·611 = 6.
We zien dat 94 deelbaar is door 47 (het quotiënt is 2), wat betekent dat het oorspronkelijke getal deelbaar is. Geweldig. Maar wat als we plezier blijven maken?
94 → 0 + 8 94 = 752 → 7 + 8 52 = 423 → 4 + 8 23 = 188 → 1 + 8 88 = 705 → 7 + 8 5 = 47.
Nu moeten we stoppen. Zevenenveertig is deelbaar door 47, toch?
Moeten we echt stoppen? Wat als we verder gaan? Oh mijn God, er kan van alles gebeuren... Ik sla de details over. Misschien nog maar het begin:
47 → 0 + 8 = 47 → 376 + 3 = 8 → 76 + 611 = 6 → 8 + 11 = 94.
Maar helaas is het net zo verslavend als het kauwen op zaden...
752 → 7 + 8 * 52 = 423 → 4 + 8 * 23 = 188 → 1 + 8 * 88 = 705 → 7 + 8 * 5 = 47.
Ach, zevenenveertig. Het gebeurde eerder. Wat is het volgende? . Dezelfde. De cijfers gaan als volgt in een lus:
Dit is eigenlijk interessant. Dit aantal lussen.
twee volgende voorbeelden.
We willen weten of 10017627 deelbaar is door 47. Waarom hebben we deze kennis nodig? We herinneren ons het principe: wee de kennis die de kenner niet helpt. Kennis is er altijd voor iets. Het zal ergens voor zijn, maar nu ga ik het niet uitleggen. Nog een paar rekeningen:
10017627 → 100176 + 8 27 = 100392.
“Hij veranderde zijn oom van een bijl in een stok.” Wat krijgen we van dit alles?
Laten we het verloop van de procedure herhalen. Dat wil zeggen, we zullen dit blijven doen (dat wil zeggen, het woord "herhalen").
100392 → 1003 + 8 92 = 1739 → 17 + 8 39 = 329 → 3 + 8 29 = 235.
Laten we het spel stoppen en delen zoals op school (of op een rekenmachine): 235 = 5 47. Bingo. Het originele nummer 10017627 is deelbaar door 47.
Bravo voor ons!
Wat als we verder gaan? Geloof me, je kunt het controleren.
En nog een interessant feit. We willen controleren of 799 deelbaar is door 47. We gebruiken de deelbaarheidsfunctie. We ontkoppelen de laatste twee cijfers, vermenigvuldigen het resulterende getal met 8 en voegen toe aan wat overblijft:
799 → 7 + 8 99 = 7 + 792 = 799.
Wat we hebben? Het getal 799 is deelbaar door 47 als en slechts als 799 deelbaar is door 47? Ja, alles is waar, maar je hebt hier geen wiskunde voor nodig!!! De boter is vettig (deze boter is tenminste vettig).
Over het blad, piraten en het einde van de grappen!
Nog twee gelijkenissen. Waar kun je het blad het beste verstoppen? Het antwoord ligt voor de hand: in het bos! Maar hoe vind je het later?
De tweede kennen we uit boeken over piraten die we lang geleden lazen. De piraten maakten een kaart van de plaats waar ze de schat begraven. Anderen stalen het of wonnen het in de strijd. Maar op de kaart stond niet om welk eiland het ging. En kijk zelf! Natuurlijk hebben de piraten hiermee omgegaan (marteling) - de cijfers waar ik het over heb kunnen ook met behulp van deze methoden worden geëxtraheerd.
Einde van de grappen. Lezer! We maken een cijfer. Ik ben een undercover spion en gebruik "Junior Technician" als mijn contactdoos. Stuur mij gecodeerde berichten als volgt door.
Converteer eerst de tekst naar een reeks cijfers met behulp van de code: AB CDEFGH IJ KLMN OP RST UWX Y Z1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
Zoals u kunt zien, gebruiken we geen Poolse diakritische tekens (dat wil zeggen zonder ą, ę, ć, ń, ó, ś) en niet-Poolse q, v - maar de niet-Poolse x blijft staan voor het geval dat. Laten we nog eens 25 als spatie opnemen (spatie tussen woorden). O, het allerbelangrijkste. Gebruik code nr. 47.
Je weet wat dat betekent. Je gaat naar een wiskundige vriend.
De ogen van de vriend werden groot van verbazing.
Je antwoordt trots:
Een wiskundige geeft je deze eigenschap... en je weet al dat encryptie een onopvallende functie gebruikt
omdat een dergelijk patroon de beschreven actie is
100 + → + 8.
Als je dus wilt weten wat een getal als 77777777 betekent in een gecodeerd bericht, gebruik je de functie
100 + → + 8
totdat je een getal tussen 1 en 25 krijgt. Kijk nu naar de expliciete alfanumerieke code. Eens kijken: 77777777 →... Ik laat dit als opdracht aan jou over. Maar laten we eens kijken welke letter 48 verbergt? Laten we lezen:
48 → 0 + 8 48 = 384.
Dan krijgen we om de beurt:
384 → 3 + 8 84 = 675 → 6 + 8 75 = 606 → 6 + 8 6 = 54 → 0 + 8 54 = 432…
Er is geen einde in zicht. Pas na de zestigste (!) keer verschijnt er een getal kleiner dan 25. Dit is 3, wat betekent dat 48 de letter C is.
En wat levert deze boodschap ons op? (Ik wil u eraan herinneren dat wij codenummer 47 gebruiken):
80 – 152 – 136 – 546 – 695719 – 100 – 224 – 555 – 412 – 111 – 640 – 102 – 152 – 12881 – 444 – 77777777 – 59 – 408 – 373 – 1234567 – 341.
Denk eens na, wat is hier ingewikkeld, sommige rekeningen. Wij zijn begonnen. Begin jaren 80. Een bekende regel:
80 → 0 + 8 80 = 640 → 6 + 8 40 = 326.
Het gaat als volgt verder:
326 → 211 → 90 → 720 → 167 → 537 → 301 → 11.
Eten! De eerste letter van het bericht is K. Oef, makkelijk, maar hoe lang duurt het?
Laten we ook eens kijken hoeveel moeite we hebben met het getal 1234567. Pas de zestiende keer krijgen we een getal kleiner dan 25, namelijk 12. Dus 1234567 is L.
Oké, zullen sommigen misschien zeggen, maar deze rekenkundige bewerking is zo eenvoudig dat het programmeren ervan op een computer de code onmiddellijk zou breken. Ja het is waar. Dit zijn eenvoudige computerberekeningen. Idee met openbaar cijfer en het gaat er ook om dat je berekeningen moeilijk maakt voor de computer. Laat het minstens honderd jaar werken. Zal hij de boodschap ontcijferen? Maakt niet uit. Het zal voor een lange tijd niets uitmaken. Dit is (min of meer) waar het bij openbare cijfers om draait. Ze kunnen kapot gaan als je heel lang werkt... totdat het nieuws niet langer relevant is.
het gaf altijd aanleiding tot ‘anti-wapenisme’. Het begon allemaal met een zwaard en schild. De geheime diensten betalen begaafde wiskundigen enorme sommen geld om encryptiemethoden te bedenken die computers (inclusief degene die wij maken) in de XNUMXe eeuw niet zullen kunnen breken.
Tweeëntwintigste eeuw? Het is niet zo moeilijk om te weten dat er al veel mensen op de wereld zijn die in deze prachtige eeuw zullen leven!
Oh hu? Wat als ik (mij, de Geheime Officier waarmee de "Jonge Technicus" contact heeft opgenomen) vraag om te versleutelen met codenummer 23? Of 17? Eenvoudig:
Mogen we wiskunde nooit voor zulke doeleinden hoeven te gebruiken.
***
Titel van een artikel over poëzie. Waarom zou het haar iets kunnen schelen?
Zoals? Poëzie codeert ook de wereld.
Hoe?
Door hun methoden - vergelijkbaar met algebraïsche.
