DUS AAN WIE, dat wil zeggen: PROBEER WAAR JE KAN - deel 2

In de vorige aflevering hadden we te maken met Sudoku, een rekenspel waarin getallen in principe volgens bepaalde regels in verschillende grafieken worden gerangschikt. De meest gebruikelijke optie is een schaakbord van 9x9, verder onderverdeeld in negen vierkanten van 3x3. De getallen van 1 tot en met 9 moeten er zo op worden geplaatst dat ze niet in een verticale rij worden herhaald (wiskundigen zeggen: in een kolom) of in een horizontale rij (wiskundigen zeggen: in een rij) - en bovendien dat ze zich niet herhalen. herhaal binnen een kleiner vierkant.

Na afb. 1 we zien deze puzzel in een eenvoudiger versie, namelijk een vierkant van 6 × 6 verdeeld in rechthoeken van 2 × 3. We voegen er de cijfers 1, 2, 3, 4, 5, 6 in - zodat ze niet verticaal worden herhaald, noch horizontaal, noch in elk van de geselecteerde zeshoeken.

Laten we proberen weergegeven in het bovenste vierkant. Kun jij het invullen met getallen van 1 tot 6 volgens de regels die voor dit spel gelden? Het is mogelijk - maar dubbelzinnig. Laten we eens kijken - teken een vierkant aan de linkerkant of een vierkant aan de rechterkant.

Je zou kunnen zeggen dat dit niet de basis is voor een puzzel. Meestal gaan we ervan uit dat een puzzel één oplossing heeft. De taak om verschillende basissen te vinden voor een “grote” Sudoku, 9x9, is een moeilijke taak en er is geen kans om deze volledig op te lossen.

Een ander belangrijk verband is het tegenstrijdige systeem. Het onderste middelste vierkant (die met het cijfer 2 in de rechter benedenhoek) kan niet worden voltooid. Waarom?

Plezier en retraites

Laten we doorgaan met spelen. Laten we de intuïtie van kinderen gebruiken. Ze geloven dat entertainment de introductie is tot leren. Laten we de ruimte ingaan. inbegrepen afb. 2 iedereen ziet het raster tetraëdergemaakt van ballen, zoals pingpongballen? Laten we de meetkundelessen op school onthouden. De kleuren aan de linkerkant van de afbeelding leggen uit waar op gelijmd wordt bij het in elkaar zetten van het blok. In het bijzonder worden de drie hoekballen (rood) in één gelijmd. Daarom moeten ze hetzelfde nummer bevatten. Misschien 9. Waarom? En waarom niet?

Oh, ik heb het niet verwoord taken. Het klinkt ongeveer zo: is het mogelijk om de getallen 0 tot en met 9 in een zichtbaar raster te plaatsen, zodat elke rand alle getallen bevat? De taak is niet moeilijk, maar er is veel fantasie voor nodig! Ik zal de pret voor de lezers niet bederven en geen oplossing bieden.

Dit is een zeer mooie en onderschatte vorm regelmatige octaëder, opgebouwd uit twee piramides (=piramides) met een vierkante basis. Zoals de naam al doet vermoeden, heeft de octaëder acht vlakken.

Een octaëder heeft zes hoekpunten. Dit is in tegenspraak kubusdie zes vlakken en acht hoekpunten heeft. De randen van beide klonten zijn hetzelfde - elk twaalf. Dit dubbele vaste stoffen - dit betekent dat we een octaëder krijgen door de middelpunten van de vlakken van de kubus te verbinden, en de middelpunten van de vlakken van de octaëder geven ons een kubus. Beide hobbels presteren ("omdat ze moeten") Eulers formule: De som van het aantal hoekpunten en het aantal vlakken is 2 meer dan het aantal randen.

3. Een regelmatige octaëder in parallelle projectie en een octaëderrooster dat zodanig uit bollen is samengesteld dat elke rand vier bollen heeft.

1-taak. Schrijf eerst de laatste zin van de vorige paragraaf met behulp van een wiskundige formule. Op afb. 3 je ziet een octaëdrisch netwerk, eveneens bestaande uit bollen. Er zijn vier ballen aan elke rand. Elk vlak is een driehoek van tien bollen. De taak wordt onafhankelijk gesteld: is het mogelijk om cijfers van 0 tot 9 in de cirkels van het raster te plaatsen, zodat na het aan elkaar lijmen van een stevig lichaam elke muur alle cijfers bevat (hieruit volgt dat zonder herhaling). Net als voorheen is de grootste uitdaging bij dit probleem hoe het gaas in een vaste stof verandert. Ik kan dit niet schriftelijk uitleggen, dus ik geef hier ook geen oplossing.

4. Twee icosaëders gemaakt van pingpongballen. Let op het andere kleurenschema.

reeds Plato (en hij leefde in de XNUMXe-XNUMXe eeuw voor Christus) kende alle regelmatige veelvlakken: tetraëder, kubus, octaëder, dodecaëder i icosaëder. Het is verbazingwekkend hoe hij daar kwam - geen potlood, geen papier, geen pen, geen boeken, geen smartphone, geen internet! Ik zal het hier niet hebben over de dodecaëder. Maar de icosahedrale sudoku is interessant. We zien deze knobbel op illustratie 4en zijn netwerk aan Afb. 5.

5. Regelmatig icosahedraal gaas.

Net als voorheen is dit geen raster in de zin waarin we ons (?!) Van school herinneren, maar een manier om driehoeken van ballen (ballen) te lijmen.

2-taak. Hoeveel ballen zijn er nodig om zo’n icosaëder samen te stellen? Is de volgende redenering nog steeds juist: aangezien elk vlak een driehoek is, zijn er, als er twintig vlakken zouden zijn, maar liefst 20 bollen nodig?

6. Icosaëdernetwerk van bollen. Elke cirkel vertegenwoordigt bijvoorbeeld een pingpongbal, maar het bouwen van cirkels op een cirkel, gemarkeerd met dezelfde kleur, versmelt tot één geheel. We hebben dus twaalf bollen (= twaalf hoekpunten: rood, blauw, paars, blauw en acht geel).

Het is gemakkelijk in te zien dat drie getallen in de icosaëder niet genoeg zijn. Om precies te zijn: het is onmogelijk om de hoekpunten met de cijfers 1, 2, 3 te nummeren zodat elk (driehoekig) vlak deze drie cijfers heeft en er geen herhalingen zijn. Is het mogelijk met vier cijfers? Ja, het is mogelijk! Laten we eens kijken Rijst. 6 en 7.

7. Zo nummer je de bollen waaruit de icosaëder bestaat, zodat elk vlak andere getallen bevat dan 1, 2, 3, 4. Welke van de lichamen in Fig. 4 op deze manier gekleurd?

3-taak. Drie van de vier getallen kunnen op vier manieren gekozen worden: 123, 124, 134, 234. Zoek vijf van zulke driehoeken in de icosaëder in Fig. 7 (en ook van illustraties 4).

4-taak (vereist een zeer goede ruimtelijke verbeeldingskracht). De icosaëder heeft twaalf hoekpunten, wat betekent dat hij uit twaalf bollen aan elkaar kan worden gelijmd (afb. 7). Merk op dat er drie hoekpunten (= ballen) zijn met het label 1, drie met het label 2, enzovoort. Ballen van dezelfde kleur vormen dus een driehoek. Wat voor soort driehoek is dit? Misschien gelijkzijdig? Kijk nog eens illustraties 4.

De volgende taak is voor grootouders en kleinzonen. Ouders kunnen eindelijk ook hun best doen, maar ze hebben geduld en tijd nodig.

5-taak. Koop twaalf (of beter nog 24) pingpongballen, wat verf in vier kleuren, een penseel en de lijm die je nodig hebt. Ik raad snelle ballen zoals Super Glue of Droplet niet aan, omdat ze te snel drogen en gevaarlijk zijn voor kinderen. Lijm de icosaëder. Trek uw kleindochter een T-shirt aan dat daarna direct wordt gewassen (of weggegooid). Bedek de tafel met folie (bij voorkeur krantenpapier). Kleur de icosaëder voorzichtig met vier kleuren 1, 2, 3, 4, zoals weergegeven in Fig. afb. 7. Je kunt de volgorde wijzigen - kleur eerst de ballonnen in en plak ze dan vast. Tegelijkertijd moeten kleine cirkels ongeverfd blijven, zodat de verf niet aan de verf blijft plakken.

Nu de moeilijkste taak (of beter gezegd, hun hele reeks).

6-taak (meer precies, een algemeen onderwerp). Construeer een icosaëder zoals een tetraëder en een octaëder Rijst. 2 en 3 Dit betekent dat er aan elke rand vier ballen moeten zijn. In deze variant is de taak zowel tijdrovend als zelfs kostbaar. Laten we beginnen met uit te zoeken hoeveel ballen je nodig hebt. Elk vlak heeft tien bollen, dus de icosaëder heeft er tweehonderd nodig? Nee! We moeten niet vergeten dat veel ballen worden gedeeld. Hoeveel randen heeft een icosaëder? Het kan nauwgezet worden berekend, maar waar is de Euler-formule voor?

w–k+s=2

waarbij w, k, s respectievelijk het aantal hoekpunten, randen en vlakken zijn. We herinneren ons dat w = 12, s = 20, wat k = 30 betekent. We hebben 30 randen van de icosaëder. Je kunt het anders doen, want als er twintig driehoeken zijn, hebben ze maar zestig randen, maar twee daarvan zijn gebruikelijk.

Laten we tellen hoeveel ballen er nodig zijn. Elke driehoek heeft slechts één binnenbal - noch aan de bovenkant van ons lichaam, noch aan de rand. We hebben dus maar 20 van dergelijke ballen. Er zijn 12 pieken. Elke rand heeft twee niet-vertexballen (ze bevinden zich binnen de rand, maar niet in het vlak). Omdat er 30 randen zijn, zijn er 60 ballen, maar twee daarvan zijn gebruikelijk, wat betekent dat je maar 30 ballen nodig hebt, dus je hebt in totaal 20 + 12 + 30 = 62 ballen nodig. Ballen kunnen worden gekocht voor minimaal 50 groschen (meestal meer). Als je de lijmkosten erbij optelt, komt het op... veel uit. Goed lijmen vergt enkele uren nauwgezet werk. Alles bij elkaar zijn ze geschikt voor een ontspannen tijdverdrijf - ik raad ze aan in plaats van bijvoorbeeld tv te kijken.

Terugtrekken 1. In Andrzej Wajda’s filmreeks ‘By the Years, by the Days’ spelen twee mannen schaak ‘omdat ze op de een of andere manier de tijd moeten doorbrengen voor de lunch.’ Dit vindt plaats in het Galicische Krakau. Sterker nog: kranten zijn al gelezen (toen hadden ze 4 pagina's), tv en telefoon zijn nog niet uitgevonden, er zijn geen voetbalwedstrijden. Verveling van plassen. In een dergelijke situatie bedachten mensen entertainment voor zichzelf. Vandaag hebben we ze na het indrukken van de afstandsbediening...

Terugtrekken 2. Tijdens een bijeenkomst van de Vereniging van Wiskundeleraren in 2019 demonstreerde een Spaanse professor een computerprogramma dat massieve muren in elke kleur kon schilderen. Het was een beetje griezelig omdat ze alleen de handen tekenden en het lichaam bijna afhakten. Ik dacht bij mezelf: hoeveel plezier kun je beleven aan dit soort ‘schilderijen’? Alles duurt twee minuten, en tegen de vierde herinneren we ons niets meer. Ondertussen kalmeert en onderwijst ouderwets ‘handwerk’. Degenen die niet geloven, laat ze het proberen.

Laten we terugkeren naar de XNUMXe eeuw en naar onze realiteit. Als we geen ontspanning willen in de vorm van arbeidsintensief lijmen van ballen, dan tekenen we op zijn minst een icosaëdergaas waarvan de randen vier ballen hebben. Hoe je dat doet? Verkruimel correct Afb. 6. De oplettende lezer kan het probleem al raden:

7-taak. Is het mogelijk om de ballen te nummeren met cijfers van 0 tot en met 9, zodat al deze cijfers op elke zijde van zo'n icosaëder staan?

Waar worden wij voor betaald?

Tegenwoordig vragen we ons vaak af wat het doel van onze activiteiten is, en de ‘grijze belastingbetaler’ zal vragen waarom hij wiskundigen zou moeten betalen om dergelijke puzzels op te lossen?

Het antwoord is vrij eenvoudig. Dergelijke ‘puzzels’, die op zichzelf interessant zijn, zijn ‘een fragment van iets ernstigers’. Militaire parades zijn immers slechts het uiterlijke, spectaculaire onderdeel van een moeilijke dienst. Ik zal slechts één voorbeeld geven, maar ik zal beginnen met het vreemde maar internationaal erkende onderwerp wiskunde. In 1852 vroeg een Engelse student aan zijn professor of een kaart in vier kleuren kon worden gekleurd, zodat de buurlanden altijd in verschillende kleuren zouden verschijnen? Ik wil hieraan toevoegen dat we geen rekening houden met 'naburige' staten die elkaar slechts op één punt ontmoeten, zoals de staten Wyoming en Utah in de VS. De professor wist het niet... en het probleem wachtte ruim honderd jaar op een oplossing.

8. Icosaëder uit REKO-blokken. Flitsreflectoren laten zien wat de icosaëder gemeen heeft met een driehoek en een vijfhoek. Vijf driehoeken ontmoeten elkaar op elk hoekpunt.

Dit gebeurde vanuit een onverwachte richting. In 1976 schreef een groep Amerikaanse wiskundigen een programma om dit probleem op te lossen (en ze besloten: ja, vier kleuren zullen altijd genoeg zijn). Dit was het eerste bewijs van een wiskundig feit verkregen met behulp van een ‘wiskundige machine’ – zoals een computer een halve eeuw geleden werd genoemd (en zelfs eerder: een ‘elektronisch brein’).

Hier is een speciaal getoonde "kaart van Europa" (afb. 9). De landen die een gemeenschappelijke grens delen, zijn met elkaar verbonden. Het kleuren van een kaart is hetzelfde als het kleuren van de cirkels van die grafiek (een grafiek genoemd), zodat geen enkele verbonden cirkel dezelfde kleur heeft. Een blik op Liechtenstein, België, Frankrijk en Duitsland leert dat drie kleuren niet genoeg zijn. Als u wilt, lezer, kleur het dan in vier kleuren.

9. Wie grenst aan wie in Europa?

Ja, maar is het het geld van de belastingbetaler waard? Laten we dezelfde grafiek dus een beetje anders bekijken. Laten we vergeten dat er staten en grenzen zijn. Laat de cirkels informatiepakketten symboliseren die van het ene punt naar het andere moeten worden verzonden (bijvoorbeeld van P naar EST), en de segmenten vertegenwoordigen mogelijke verbindingen, die elk hun eigen doorvoer hebben. Zo snel mogelijk versturen?

Laten we eerst eens kijken naar een zeer vereenvoudigde, maar ook vanuit wiskundig oogpunt zeer interessante situatie. We moeten iets verzenden van punt S (=als begin) naar punt M (=eindpunt) met behulp van een netwerk van verbindingen met dezelfde bandbreedte, bijvoorbeeld 1. We zien dit in afb. 10.

10. Netwerk van verbindingen van Stacyjka Zdroj naar Megapolis.

Laten we ons voorstellen dat er ongeveer 89 bits aan informatie van S naar M moeten worden verzonden. De auteur van deze woorden houdt van treinproblemen, dus stelt hij zich voor dat hij manager is bij Stacie Zdroj, van waaruit hij 144 rijtuigen moet sturen. naar het Megapolis-station. Waarom 144? Omdat, zoals we zullen zien, dit zal worden gebruikt om de doorvoer van het hele netwerk te berekenen. De capaciteit is 1 per locatie, d.w.z. Per tijdseenheid kan één auto reizen (één informatiebit, eventueel ook een Gigabyte).

Laten we ervoor zorgen dat alle auto's elkaar tegelijkertijd ontmoeten in M. Iedereen komt daar in 89 tijdseenheden. Als ik een heel belangrijk S-naar-M-informatiepakket moet verzenden, verdeel ik het in groepen van 144 eenheden en push ik het zoals hierboven. De wiskunde garandeert dat dit de snelste zal zijn. Hoe wist ik dat je 89 nodig had? Ik heb het eigenlijk wel geraden, maar als ik het niet had geraden, had ik het moeten uitzoeken de Kirchhoff-vergelijking (weet iemand het nog? - dit zijn vergelijkingen die de stroom van stroom beschrijven). De netwerkbandbreedte is 184/89, wat ongeveer gelijk is aan 1,62.

Over vreugde

Trouwens, ik hou van nummer 144. Ik vond het heerlijk om de bus met dit nummer naar Castle Square in Warschau te nemen - terwijl er geen gerestaureerd koninklijk kasteel in de buurt was. Misschien weten jonge lezers wat een dozijn is. Dit zijn 12 exemplaren, maar alleen oudere lezers zullen zich herinneren dat het er een tiental zijn, d.w.z. 122=144, dit zijn de zogenaamde velen. En iedereen die wiskunde iets meer kent dan uit het schoolcurriculum, zal dat meteen begrijpen afb. 10 we hebben Fibonacci-getallen en die netwerkdoorvoer ligt dicht bij het ‘gouden getal’

In de Fibonacci-reeks is 144 het enige getal dat een perfect vierkant is. Honderdvierenveertig is ook een ‘vreugdevol getal’. Dit is hoe een Indiase amateurwiskundige Dattatreya Ramachandra Kaprekar in 1955 noemde hij getallen die deelbaar zijn door de som van de samenstellende cijfers:

Als hij dit maar wist Adam Mickiewicz, zou hij zeker nee hebben geschreven in Dzyady: “Van een vreemde moeder; zijn bloed is zijn oude helden / En zijn naam is vierenveertig, alleen eleganter: En zijn naam is honderdvierenveertig.

Neem plezier serieus

Ik hoop dat ik de lezers ervan heb overtuigd dat Sudoku-puzzels een vermakelijke kant van de zaak zijn die het zeker verdient om serieus te worden genomen. Ik kan dit onderwerp niet verder uitwerken. Oh, volledige berekening van de netwerkbandbreedte op basis van de grafiek op afb. 9 het schrijven van een systeem van vergelijkingen zou twee of meer uur in beslag nemen - misschien zelfs tientallen seconden (!) computerwerk.