Artikel over niets

Als kind was ik gefascineerd door het verhaal, waarschijnlijk bekend bij veel lezers, over 'soep op een spijker'. Mijn grootmoeder (XNUMXe eeuw na geboorte) vertelde me dit in de versie "De Kozak kwam en vroeg om water, want hij heeft een spijker en hij zal er soep op koken." De nieuwsgierige gastvrouw gaf hem een ​​pot water... en we weten wat er daarna gebeurde: "de soep moet zout zijn, daitye, oma, zout", daarna waste hij het vlees "om de smaak te verbeteren" enzovoort. Uiteindelijk gooide hij de "gekookte" nagel weg.

Dus dit artikel moest gaan over de leegte van de ruimte - en dit gaat over de landing van een Europees apparaat op de komeet 67P / Churyumov-Gerasimenko op 12 november 2014. Maar tijdens het schrijven bezweek ik voor een al lang bestaande gewoonte, Ik ben nog steeds een wiskundige. Hoe is het met Vind leukс Nul bij wiskunde?

Hoe bestaat niets?

Er kan niet gezegd worden dat Niets bestaat. Het bestaat op zijn minst als een filosofisch, wiskundig, religieus en volledig informeel concept. Nul is een gewoon getal, nul graden op een thermometer is ook een temperatuur, en een nulsaldo op een bank is een onaangename maar veel voorkomende gebeurtenis. Merk op dat er in de chronologie geen nuljaar bestaat, en dit komt omdat nul pas in de late middeleeuwen in de wiskunde werd geïntroduceerd, later dan de chronologie voorgesteld door de monnik Dionysius (XNUMXe eeuw).

Vreemd genoeg zouden we eigenlijk zonder deze nul kunnen en dus ook zonder negatieve getallen. In een van de logicaboeken vond ik een oefening: teken of zeg hoe je je de afwezigheid van vis voorstelt. Verbazingwekkend, nietwaar? Iedereen kan een vis tekenen, maar de afwezigheid ervan?

Nu kort cursus basiswiskunde. Het verlenen van het bestaansrecht aan een lege verzameling, gemarkeerd met een doorgestreepte cirkel ∅, is een noodzakelijke procedure die analoog is aan het toevoegen van nul aan de verzameling getallen. De lege set is de enige set die geen elementen bevat. Dergelijke collecties:

Maar er zijn geen twee verschillende lege sets. De lege set is inbegrepen in elke andere set:

De regels van de wiskundige logica zeggen dat een verzameling A in een verzameling B zit als en slechts als de zin:

dit brengt met zich mee

In het geval van de lege verzameling ∅ is de propositie altijd onwaar, en dus is de implicatie volgens de wetten van de logica in het algemeen waar. Alles komt voort uit een leugen ("hier zal ik een cactus laten groeien als je naar de volgende klas gaat ..."). Dus aangezien de lege verzameling in elk van de andere zit, zouden ze, als het twee verschillende waren, elk in de andere zitten. Als er echter twee sets in elkaar zitten, zijn ze gelijk. Daarom: er is maar één lege set!

Het postulaat over het bestaan ​​van de lege verzameling is niet in tegenspraak met de wetten van de wiskunde, dus waarom zouden we het niet tot leven brengen? Een filosofisch principe genaamdOccam's scheermes"Een bevel om onnodige concepten uit te sluiten, maar dan precies goed het concept van een lege verzameling is erg handig in de wiskunde. Houd er rekening mee dat de lege verzameling een dimensie heeft van -1 (min één) - nuldimensionale elementen zijn punten en hun schaarse systemen, eendimensionale elementen zijn lijnen, en we hebben gesproken over zeer complexe wiskundige elementen met fractale dimensies in het hoofdstuk over fractals.

Het is interessant dat het hele gebouw van de wiskunde: getallen, getallen, functies, operatoren, integralen, differentiëlen, vergelijkingen ... kan worden afgeleid uit één concept - een lege verzameling! Het is voldoende om aan te nemen dat er een lege set is; de nieuw gemaakte elementen kunnen tot sets worden gecombineerd bouw alle wiskunde. Dit is hoe de Duitse logicus Gottlob Frege natuurlijke getallen construeerde. Null is een klasse van sets waarvan de elementen in onderlinge overeenstemming zijn met de elementen van de lege set. De ene is een klasse van sets waarvan de elementen onderling corresponderen met de elementen van een set waarvan het enige element de lege set is. Twee is de klasse van sets waarvan de elementen één-op-één zijn, waarbij de elementen van de set bestaan ​​uit de lege set en de set waarvan het enige element de lege set is... enzovoort. Op het eerste gezicht lijkt dit iets heel ingewikkelds, maar dat is het in werkelijkheid niet.

De blauwe spreidde zich over mij uit,

rook naar heide en rook naar munt...

Wojciech Mlynarski, “Meisje uit de oogst”

Het is moeilijk voor te stellen

Niets is moeilijk voor te stellen. In Stanislaw Lems verhaal 'Hoe de wereld werd gered' bouwde ontwerper Trurl een machine die alles zou doen, te beginnen met de letter. Toen Klapaucius opdracht gaf het te bouwen Nic, begon de machine verschillende objecten van de wereld te verwijderen - met als uiteindelijk doel alles te verwijderen. Tegen de tijd dat de bange Klapaucius de auto stopte, waren galeien, taxussen, hangende, haken, rijmpjes, gardes, poefs, slijpmachines, spiesen, filidrons en vorst voor altijd van de wereld verdwenen. En inderdaad, ze zijn voor altijd verdwenen ...

Józef Tischner schreef heel goed over het niets in zijn History of Mountain Philosophy. Tijdens mijn laatste vakantie besloot ik dit niets te ervaren, namelijk, ik ging naar de veenmoerassen tussen Nowy Targ en Jabłonka in Podhale. Dit gebied wordt zelfs Pustachia genoemd. Je gaat, je gaat, maar de weg wordt niet minder - natuurlijk op onze bescheiden, Poolse schaal. Op een dag nam ik een bus in de Canadese provincie Saskatchewan. Buiten was een korenveld. Ik heb een halfuurtje geslapen. Toen ik wakker werd, reden we door hetzelfde korenveld... Maar wacht, is dit leeg? In zekere zin is de afwezigheid van verandering gewoon leegte.

We zijn gewend aan de constante aanwezigheid van verschillende objecten om ons heen, en van Iets je kunt niet ontsnappen, zelfs niet met je ogen dicht. ‘Ik denk, dus ik besta’, zei Descartes. Als ik al iets heb bedacht, betekent dat dat ik besta, en dat betekent dat er in ieder geval iets in de wereld is (namelijk ik). Bestaat wat ik dacht? Hierover valt te discussiëren, maar in de moderne kwantummechanica is het Heisenberg-principe bekend: elke waarneming verstoort de toestand van het waargenomen object. Totdat we het zien Nic het bestaat niet, en wanneer we beginnen te kijken, houdt het object op te bestaan Vind leuk en het wordt Iets. Dit leidt tot absurditeit antropisch principe: Het heeft geen zin om te vragen hoe de wereld eruit zou zien als we niet zouden bestaan. De wereld is zoals zij ons lijkt. Misschien zullen andere wezens de aarde als hoekig beschouwen?

Een positron (zo'n positief elektron) is een gat in de ruimte, "er is geen elektron." Tijdens het annihilatieproces springt het elektron in dit gat en "gebeurt er niets" - er is geen gat, geen elektron. Ik zal veel grappen over gaten in Zwitserse kaas overslaan ("hoe meer ik heb, hoe minder er ..."). De beroemde componist John Cage had zijn ideeën al zo ver gebruikt dat hij een muziekstuk (?) componeerde (?) waarin het orkest 4 minuten en 33 seconden roerloos zit en uiteraard niets speelt. "Vier minuten en drieëndertig seconden is tweehonderddrieënzeventig, 273, en min 273 graden is het absolute nulpunt, waarbij alle beweging stopt", legt de componist (?) uit.

Filter op nul, niets, nick, nick, niets, nul!

Jerzy in Andrzej Wajda's film Over the Years,

de dagen gaan voorbij"

Hoe zit het met alles?

Veel mensen (van eenvoudige graantelers tot vooraanstaande filosofen) hebben zich afgevraagd over het fenomeen bestaan. In de wiskunde is de situatie eenvoudig: er is iets dat consistent is.

Ze verdween in de randvelden

In korenbloemen, onkruid en leeuwenmuilen...

Nou, deze dingen gebeuren

Vooral in de oogst, en tijdens de oogst

speciaal…

Wojciech Mlynarski, “Meisje uit de oogst”

Alles bevindt zich aan het andere uiterste van het Niets. In de wiskunde is dat bekend Alles bestaat niet. Het is simpelweg te onnauwkeurig om te veronderstellen dat zijn bestaan ​​vrij van controverse zou zijn. Dit kan worden begrepen aan de hand van het voorbeeld van de oude paradox: “Als God almachtig is, creëer dan een steen om op te rapen?” Het wiskundige bewijs dat er geen verzameling van alle verzamelingen kan zijn, is gebaseerd op de stelling zanger-Berstein, wat zegt dat "een oneindig aantal" (wiskundig gezien: hoofdtelwoord) de verzameling van alle leden van een bepaalde verzameling is groter dan het aantal elementen van deze verzameling.

Als een set elementen bevat, dan heeft deze er 2ⁿ subsets; Als bijvoorbeeld = 3 en de set bestaat uit {1, 2, 3}, dan bestaan ​​de volgende subsets:

• drie sets met twee elementen: in elk ervan ontbreekt een van de nummers 1, 2, 3,
• één leeg stel,
• drie singletonsets,
• hele set {1,2,3}

– slechts acht, 2³En voor lezers die onlangs zijn afgestudeerd, wil ik u herinneren aan de bijbehorende formule:

Elk van de Newtoniaanse symbolen in deze formule bepaalt het aantal k-elementsets in de -elementset.

In de wiskunde komen binominale coëfficiënten op veel andere plaatsen voor, zoals in interessante verkorte vermenigvuldigingsformules:

en vanuit hun exacte vorm is hun onderlinge afhankelijkheid veel interessanter.

Het is moeilijk te begrijpen wat - voor zover het logica en wiskunde betreft - is en wat Alles niet is. Argumenten voor niet-bestaan ​​Precies hetzelfde als dat van Winnie de Poeh, die zijn gast Tijger beleefd vroeg: houden Tijgers überhaupt van honing, eikels en distels? "Tijgers houden van alles", antwoordde degene waaruit Kubus concludeerde dat als ze alles leuk vinden, ze ook graag op de grond slapen, daarom kan hij, Vinnie, terug naar bed.

Nog een argument Russells paradox. Er is een kapper in de stad die alle mannen scheert die zichzelf niet scheren. Scheert hij zichzelf? Beide antwoorden zijn in tegenspraak met de gestelde voorwaarde dat zij degenen doden, en alleen degenen, die het zelf niet doen.

Op zoek naar de verzameling van alle collecties

Concluderend zal ik een slim, maar zeer wiskundig bewijs geven dat er geen verzameling van alle verzamelingen bestaat (niet te verwarren daarmee).

Ten eerste zullen we laten zien dat het voor elke niet-lege verzameling X onmogelijk is om een ​​wederzijds unieke functie te vinden die deze verzameling afbeeldt op de verzameling van zijn deelverzamelingen P(X). Laten we dus aannemen dat deze functie bestaat. Laten we het traditioneel f noemen. Wat is f van x? Dit is een verzameling. Hoort xf bij x? Dit is onbekend. Je moet het doen, of je hoeft het niet. Maar voor sommige x moet het nog steeds zo zijn dat het niet tot f van x behoort. Beschouw dan eens de verzameling van alle x waarvoor x niet tot f(x) behoort. Laten we het (deze verzameling) aanduiden met A. Het komt overeen met een element a van de verzameling X. Hoort a bij A? Laten we aannemen dat het moet. Maar A is een verzameling die alleen die elementen van x bevat die niet tot f(x) behoren... Nou ja, misschien behoort het niet tot A? Maar de verzameling A bevat alle elementen van deze eigenschap, en dus A. Einde van het bewijs.

Als er dus een verzameling van alle verzamelingen zou zijn, zou deze zelf een deelverzameling van zichzelf zijn, wat volgens de voorgaande redenering onmogelijk is.

Ugh, ik denk niet dat veel lezers dit bewijsmateriaal hebben gelezen. Ik breng het eerder ter sprake om te laten zien wat wiskundigen aan het einde van de negentiende eeuw moesten doen, toen ze de grondslagen van hun eigen wetenschap begonnen te bestuderen. Het bleek dat de problemen daar liggen waar niemand ze verwachtte. Bovendien zijn deze argumenten over fundamenten voor alle wiskunde irrelevant: wat er ook gebeurt in de kelders - het hele gebouw van de wiskunde staat op een stevige rots.

Ondertussen op het hoogste niveau...

Laten we nog een moraal opmerken uit de verhalen van Stanislaw Lem. Tijdens een van zijn reizen bereikte Iyon Tichi een planeet waarvan de bewoners, na een lange evolutie, eindelijk het hoogste stadium van ontwikkeling hadden bereikt. Ze zijn allemaal sterk, ze kunnen alles, ze hebben alles binnen handbereik... en ze doen niets. Ze gaan op het zand liggen en gieten het tussen hun vingers. “Als alles mogelijk is, is het het niet waard”, leggen ze uit aan de geschokte Yijong. Laat dit niet gebeuren met onze Europese beschaving...