Waarom delen we niet door nul?

Lezers vragen zich misschien af ​​waarom ik een heel artikel wijd aan zo'n banale kwestie? De reden is het duizelingwekkende aantal studenten (!) die de operatie terloops onder de naam uitvoeren. En niet alleen studenten. Soms betrap ik ook leraren. Wat zullen de leerlingen van zulke leraren kunnen in wiskunde? Directe aanleiding voor het schrijven van deze tekst was een gesprek met een docent voor wie delen door nul geen probleem was...

Met nul, ja, behalve het gedoe van helemaal niets, omdat we het in het dagelijks leven niet echt nodig hebben. We gaan niet winkelen voor nul eieren. "Er is één persoon in de kamer" klinkt op de een of andere manier natuurlijk en "nul mensen" klinkt kunstmatig. Taalkundigen zeggen dat nul buiten het taalsysteem ligt.

We kunnen ook zonder de nul op bankrekeningen: gebruik gewoon - zoals op een thermometer - rood en blauw voor positieve en negatieve waarden (merk op dat het voor temperatuur normaal is om rood te gebruiken voor positieve getallen, en voor bankrekeningen is het normaal is andersom, omdat de afschrijving een waarschuwing zou moeten geven, dus rood wordt ten zeerste aanbevolen).

Door nul als natuurlijk getal op te nemen, raken we aan het probleem van differentiatie Kardinale nummers od huishouden. Binnen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, …..

de macht van het getal is hetzelfde als het getal van de plaats waar het staat. Anders staat het al in de reeks 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, …..

Het aantal singleton-sets komt op de tweede plaats, het aantal sets met twee elementen komt op de derde plaats, enzovoort. We moeten uitleggen waarom we bijvoorbeeld de plaatsen van atleten in competities niet vanaf nul nummeren. Dan zou de winnaar op de eerste plaats een zilveren medaille ontvangen (goud ging naar de winnaar op de nulplaats), enz. Een enigszins vergelijkbare procedure werd gebruikt in het voetbal - ik weet niet of lezers weten dat "league one" betekent " volgt de beste." “, en de zero league wordt geroepen om de “major league” te worden.

Soms horen we het argument dat we vanaf nul moeten beginnen, omdat dat handig is voor IT'ers. Als we deze overwegingen voortzetten, zou de definitie van een kilometer moeten worden gewijzigd - het zou 1024 m moeten zijn, omdat dit het aantal bytes in een kilobyte is (ik zal verwijzen naar een grap die bekend is bij computerwetenschappers: "Wat is het verschil tussen een eerstejaars en een student informatica en een vijfdejaars student van deze faculteit? dat een kilobyte 1000 kilobytes is, de laatste - dat een kilometer 1024 meter is")!

Een ander standpunt, dat al serieus moet worden genomen, is dit: we meten altijd vanaf nul! Het is voldoende om naar elke schaal op de liniaal te kijken, op huishoudschalen, zelfs op de klok. Aangezien we vanaf nul meten, en tellen kan worden opgevat als een meting met een dimensieloze eenheid, moeten we vanaf nul tellen.

Het is een simpele zaak, maar...

Laten we de algemene redenering verlaten en terugkeren naar deling door nul. De zaak is eenvoudig en het zou eenvoudig zijn als het niet voor ... dus wat? Laten we nadenken en proberen. Hoeveel kan het zijn - één gedeeld door nul? Laten we eens kijken: 1/0 = x. Vermenigvuldig beide zijden met de noemer van de linkerkant.

We krijgen 1=0. Is er iets mis! Wat is er gebeurd? Ach raad eens! De aanname dat er een quotiënt is van eenheid en nul leidt tot een contradictie. En als men niet door nul kan delen, dan kan een ander getal dat wel. Als u, lezer, uw schouders ophaalt en u afvraagt ​​waarom de auteur (dat wil zeggen, ik) over zulke platitudes schrijft, dan ... ben ik erg blij!

De formule 0/0 = 0 kan hardnekkig worden verdedigd, maar is in tegenspraak met de regel dat het resultaat van het delen van een getal door zichzelf gelijk is aan één. Absoluut, maar heel anders zijn symbolen als 0/0, °/° en dergelijke in calculus. Ze betekenen geen enkel nummer, maar zijn symbolische aanduidingen voor bepaalde reeksen van bepaalde typen.

In een elektrotechnisch boek vond ik een interessante vergelijking: delen door nul is net zo gevaarlijk als hoogspanningselektriciteit. Dit is normaal: de wet van Ohm stelt dat de verhouding tussen spanning en weerstand gelijk is aan stroom: V = U / R. Als de weerstand nul zou zijn, zou er een theoretisch oneindige stroom door de geleider vloeien, waarbij alle mogelijke geleiders zouden verbranden.

Ik heb ooit een gedicht geschreven over de gevaren van delen door nul voor elke dag van de week. Ik herinner me dat de meest dramatische dag donderdag was, maar het is jammer voor al mijn werk op dit gebied.

Als je iets deelt door nul

Zeer vroege maandag

Week wat er net is gebeurd

Je hebt al jammerlijk gefaald.

Wanneer dinsdagmiddag

Je zet nul in de noemer

Ik zal je dan vertellen, je hebt het mis

Slechte wiskundige!

Wanneer door nul, door perversie,

Ik wil woensdag splitsen

Je zult veel problemen krijgen

Je hebt hooi en water in je hoofd!

Een zekere Bartek was bij ons.

Hij was in strijd met de regels.

Op donderdag is het deelbaar door nul.

Hij is niet meer tussen ons!

Als een vreemd verlangen je te pakken krijgt

Delen door nul op vrijdag

Ik zal eerlijk zijn, ik zal eerlijk zijn:

Slecht begin van dit weekend.

Als het nul is, ergens op zaterdag

De verdeler zal van jou zijn (niet vetgedrukt)

Kniel onder het kerkhek.

Dit is jouw opstanding.

Wil je nul onder het streepje,

Maak een feestdag op zondag

Breng krijt, schoolbord mee.

Schrijf: het is niet deelbaar door nul!

Nul wordt geassocieerd met leegte en niets. Hij kwam inderdaad tot de wiskunde als een grootheid die, wanneer ze eraan wordt toegevoegd, deze niet verandert: x + 0 = x. Maar nu verschijnt nul in verschillende andere waarden, met name als schaal beginnen. Als er buiten het raam geen positieve temperatuur of vorst is, dan ... is dit nul, wat niet betekent dat er helemaal geen temperatuur is. Een nulklasse monument is niet een monument dat al lang gesloopt is en simpelweg niet bestaat. Integendeel, het is zoiets als de Wawel, de Eiffeltoren en het Vrijheidsbeeld.

Welnu, het belang van nul in een positioneel systeem kan nauwelijks worden overschat. Weet u, lezer, hoeveel nullen heeft Bill Gates op zijn bankrekening? Ik weet het niet, maar ik wil graag de helft. Blijkbaar heeft Napoleon Bonaparte gemerkt dat mensen als nullen zijn: ze krijgen betekenis door positie. In Andrzej Wajda's film As the Years, As the Days Go by ontploft de gepassioneerde kunstenaar Jerzy: "De Filistijn is nul, nihil, niets, niets, nihil, nul." Maar nul kan goed zijn: "nul afwijking van de norm" betekent dat alles goed gaat, en ga zo door!

Laten we teruggaan naar de wiskunde. Nul kan ongestraft worden opgeteld, afgetrokken en vermenigvuldigd. "Ik ben nul kilo aangekomen", zegt Manya tegen Anya. "En dit is interessant, want ik ben hetzelfde gewicht kwijtgeraakt", antwoordt Anya. Dus laten we zes keer nul porties ijs eten, het zal ons geen kwaad doen.

We kunnen niet delen door nul, maar we kunnen wel delen door nul. Een bord met nul knoedels kan gemakkelijk worden uitgedeeld aan degenen die op eten wachten. Hoeveel krijgt ieder?

Nul is niet positief of negatief. Dit en het nummer niet-positiefи niet-negatief. Het voldoet aan de ongelijkheden x≥0 en x≤0. De tegenspraak "iets positiefs" is niet "iets negatiefs", maar "iets negatiefs of gelijk aan nul". Wiskundigen zullen, in tegenstelling tot de regels van de taal, altijd zeggen dat iets "gelijk aan nul" is en niet "nul". Om deze praktijk te rechtvaardigen, hebben we: als we de formule x = 0 lezen "x is nul", dan x = 1 lezen we "x is gelijk aan één", wat zou kunnen worden ingeslikt, maar hoe zit het met "x = 1534267"? U kunt ook geen numerieke waarde toekennen aan het teken 0⁰noch nul tot een negatieve macht verheffen. Aan de andere kant kun je naar believen nul rooten... en het resultaat zal altijd nul zijn. 

Exponentiële functie y = a^x, de positieve basis van a, wordt nooit nul. Hieruit volgt dat er geen logaritme nul is. Inderdaad, de logaritme van a tot grondtal b is de exponent waarnaar het grondtal moet worden verheven om de logaritme van a te verkrijgen. Voor a = 0 bestaat zo'n indicator niet en nul kan niet de basis van de logaritme zijn. De nul in de "noemer" van het symbool van Newton is echter iets anders. We gaan ervan uit dat deze conventies niet tot een contradictie leiden.

vals bewijs

Delen door nul is een veelvoorkomend onderwerp voor valse bewijzen, en het overkomt zelfs ervaren wiskundigen. Laat me je twee van mijn favoriete voorbeelden geven. De eerste is algebraïsch. Ik zal "bewijzen" dat alle getallen gelijk zijn. Stel dat er twee getallen zijn die niet gelijk zijn. Daarom is de ene groter dan de andere, laat a > b. Laten we aannemen dat c hun verschil is

c \uXNUMXd a - b. We hebben dus a - b = c, vandaar a = b + c.

We vermenigvuldigen beide delen van de laatste met a - b:

a² – ab = ab + ac – b2 – bc.

Ik vertaal ak naar de linkerkant, natuurlijk herinner ik me het veranderen van het teken:

a² - ab - ac = ab - b2 - bc.

Ik sluit gemeenschappelijke factoren uit:

A (a-b-c) \uXNUMXd b (a-b-c),

Ik deel en ik heb wat ik wilde:

een = b.

En eigenlijk nog vreemder, want ik nam aan dat a > b, en ik kreeg dat a = b. Als in het bovenstaande voorbeeld "vals spelen" gemakkelijk te herkennen is, dan is het in het geometrische bewijs hieronder niet zo eenvoudig. Ik zal bewijzen dat... de trapezium niet bestaat. De figuur die gewoonlijk een trapezium wordt genoemd, bestaat niet.

Maar stel eerst dat er zoiets bestaat als een trapezium (ABCD in onderstaande figuur). Het heeft twee evenwijdige zijden ("bases"). Laten we deze bases strekken, zoals weergegeven in de afbeelding, zodat we een parallellogram krijgen. De diagonalen verdelen de andere diagonaal van de trapezium in segmenten waarvan de lengte wordt aangeduid met x, y, z, zoals in foto 1. Uit de gelijkenis van de overeenkomstige driehoeken verkrijgen we de verhoudingen:

waar we definiëren:

Orazo

waar we definiëren:

Trek de zijden van gelijkheid gemarkeerd met sterretjes af:

 Door beide zijden in te korten met x − z, krijgen we – a/b = 1, wat betekent dat a + b = 0. Maar de getallen a, b zijn de lengtes van de basis van de trapezium. Als hun som nul is, dan zijn ze ook nul. Dit betekent dat een figuur als een trapezium niet kan bestaan! En aangezien rechthoeken, ruiten en vierkanten ook trapeziums zijn, beste lezer, zijn er dus ook geen ruiten, rechthoeken en vierkanten ...

Zoals dat

Informatie delen is de meest interessante en uitdagende van de vier basisactiviteiten. Hier komen we voor het eerst een fenomeen tegen dat zo gewoon is in de volwassenheid: "raad het antwoord en controleer dan of je het goed hebt geraden." Dit wordt treffend verwoord door Daniel K. Dennett (“How to Make Mistakes?”, in How It Is – A Scientific Guide to the Universe, CiS, Warsaw, 1997):

Deze methode van "raden" interfereert niet met ons volwassen leven - misschien omdat we het al vroeg leren en raden niet moeilijk is. Hetzelfde fenomeen doet zich ideologisch voor, bijvoorbeeld bij wiskundige (volledige) inductie. Op dezelfde plaats "raden" we de formule en controleren vervolgens of onze gok correct is. Studenten vragen altijd: “Hoe wisten we het patroon? Hoe kan het worden verwijderd?" Als studenten me deze vraag stellen, maak ik van hun vraag een grap: "Ik weet dit omdat ik een professional ben, omdat ik ervoor betaald word." Studenten op school kunnen in dezelfde stijl worden beantwoord, alleen serieuzer.

oefening. Merk op dat we optellen en schrijven met vermenigvuldigen beginnen met de laagste eenheid, en delen met de hoogste eenheid.

Een combinatie van twee ideeën

Wiskundeleraren hebben er altijd op gewezen dat wat we scheiding tussen volwassenen noemen, de vereniging is van twee conceptueel verschillende ideeën: behuizing i scheiding.

De eerste (behuizing) komt voor in taken waarbij het archetype is:

Verdeel-verdeel Dit zijn taken zoals:

? (We behouden de oorspronkelijke stijl van dit probleem, ontleend aan het handboek van Julian Zgozalewicz, gepubliceerd in Krakau in 1892 - de złoty is de Rijnlandse złoty, de valuta die tot het begin van de XNUMXe eeuw in omloop was in het Oostenrijks-Hongaarse rijk).

Overweeg nu twee problemen met het oudste wiskundeboek in het Pools, vader Tomasz Clos (1538). Is het een divisie of een coupé? Los het op zoals schoolkinderen in de XNUMXe eeuw zouden moeten:

(Pools-Poolse vertaling: Er zit een liter en vier potten in een vat. Een pot is vier liter. Iemand kocht 20 vaten wijn voor 50 zł voor handel. Rechten en belastingen (accijnzen?) zullen 8 zł zijn. Hoeveel een kwart verkopen om 8 zł te verdienen?)

Sport, natuurkunde, congruentie

Soms moet je in de sport iets delen door nul (goal ratio). Nou, de rechters gaan er op de een of andere manier mee om. In de abstracte algebra staan ​​ze echter op de agenda. niet-nul hoeveelhedenwaarvan het kwadraat nul is. Het is zelfs eenvoudig uit te leggen.

Beschouw een functie F die een punt (y, 0) associeert met een punt in het vlak (x, y). Wat is F², dat wil zeggen een dubbele uitvoering van F? Nulfunctie - elk punt heeft een afbeelding (0,0).

Ten slotte zijn grootheden die niet gelijk zijn aan nul waarvan het kwadraat 0 is bijna dagelijks brood voor natuurkundigen, en getallen van de vorm a + bε, waarbij ε ≠ 0, maar ε² = 0, noemen wiskundigen dubbele cijfers. Ze komen voor in wiskundige analyse en in differentiaalmeetkunde.

Er is tenslotte iets in de rekenkunde dat in ieder geval in de naam deling door nul heeft. Het komt van congruentie. Laat Z de verzameling gehele getallen aangeven. Het delen van de verzameling Z door p betekent dat we elk getal (geheel getal) gelijkstellen aan enkele andere, namelijk aan die waardoor hun verschil deelbaar is. Dus als we vijf soorten getallen hebben die overeenkomen met de getallen 0, 1, 2, 3, 4 - de mogelijke resten bij deling door 5. De formule is als volgt geschreven:

mod wanneer het verschil een veelvoud is.

Voor = 2 hebben we slechts twee getallen: 0 en 1. Het delen van gehele getallen in twee van dergelijke klassen is gelijk aan het verdelen in even en oneven. Laten we het nu vervangen. Het verschil is altijd deelbaar door 1 (elk geheel getal is deelbaar door 1). Is het mogelijk om =0 te nemen? Laten we het eens proberen: wanneer is het verschil van twee getallen een veelvoud van nul? Alleen als deze twee getallen gelijk zijn. Dus het delen van een reeks gehele getallen door nul is logisch, maar het is niet interessant: er gebeurt niets. Benadrukt moet echter worden dat dit geen deling van getallen is in de zin die bekend is van de basisschool.

Dergelijke acties zijn eenvoudigweg verboden, evenals lange en brede wiskunde.

Rijst. 2. Identificatie van nummers door middel van vergelijking

(boom 5 en boom 2)