Voor het nieuwe schooljaar

De meeste lezers waren ergens op vakantie - zij het in ons prachtige land, in de buurlanden en misschien zelfs in het buitenland. Laten we hiervan profiteren nu de grenzen voor ons open zijn... Wat was het meest voorkomende teken op onze korte en lange reizen? Dit is een pijl die wijst naar de afrit van de snelweg, het vervolg van het bergpad, de ingang van het museum, de ingang van het strand, enzovoort, enzovoort. Wat is er zo interessant aan dit alles? Wiskundig gezien niet zo goed. Maar laten we nadenken: dit teken is voor iedereen duidelijk... vertegenwoordigers van een beschaving waarin ze ooit vanuit een boog schoten. Toegegeven, het is onmogelijk om dit te bewijzen. Wij kennen geen andere beschaving. Wiskundig interessanter is echter de regelmatige vijfhoek en zijn stervormige variant: het pentagram.

We hebben geen opleiding nodig om deze cijfers intrigerend en interessant te vinden. Als u, lezer, vijfsterrencognac dronk in een vijfsterrenhotel op de Place des Stars in Parijs, dan bent u misschien... onder een gelukkige ster geboren. Als iemand ons vraagt ​​​​een ster te tekenen, zullen we zonder aarzeling een vijfpuntige ster tekenen, en als de gesprekspartner verrast is: "Dit is een symbool van de voormalige USSR!", Kunnen we antwoorden: Stallen!

Het pentagram, of de vijfpuntige ster, de regelmatige vijfhoek, is door de hele mensheid beheerst. Minstens een kwart van de landen, waaronder de Verenigde Staten en de voormalige Sovjet-Unie, heeft het in hun emblemen opgenomen. Als kinderen leerden we een vijfpuntige ster tekenen zonder het potlood van de pagina te halen. Op volwassen leeftijd wordt ze onze leidende ster, onveranderlijk, afstandelijk, een symbool van hoop en bestemming, een orakel. Laten we dit van de buitenkant bekijken.

Wat vertellen de sterren ons?

Historici zijn het erover eens: tot de XNUMXe eeuw voor Christus bleef het intellectuele erfgoed van de volkeren van Europa in de schaduw van de culturen van Babylon, Egypte en Fenicië. En plotseling brengt de zesde eeuw een heropleving en een zo snelle ontwikkeling van cultuur en wetenschap dat sommige journalisten (bijvoorbeeld Däniken) beweren – het is moeilijk te zeggen of ze dat zelf geloven – dat dit niet mogelijk zou zijn geweest zonder de tussenkomst van de gevangenen. vanuit de ruimte.

Als het om Griekenland gaat, heeft de zaak een rationele verklaring: als gevolg van de migratie van volkeren leren de inwoners van het Peloponnesische schiereiland meer over de cultuur van buurlanden (de Fenicische letters dringen bijvoorbeeld door in Griekenland en verbeteren het alfabet ), en ze beginnen zelf het Middellandse-Zeebekken te koloniseren. Dit zijn altijd zeer gunstige voorwaarden voor de ontwikkeling van de wetenschap: onafhankelijkheid gecombineerd met contacten met de wereld. Zonder onafhankelijkheid veroordelen we ons tot het lot van de bananenrepublieken van Midden-Amerika, zonder contacten tot Noord-Korea.

Cijfers zijn belangrijk

De XNUMXe eeuw voor Christus was een bijzondere eeuw in de menselijke geschiedenis. Zonder dat ze elkaar kenden of wellicht van elkaar hadden gehoord, leerden de drie grote denkers: Boeddha, Confucius i Pythagoras. De eerste twee creëerden religies en filosofische systemen die nog steeds bestaan. Is de rol van de derde van hen beperkt tot de ontdekking van een of andere eigenschap van een bepaalde driehoek?

Aan het begin van de 624e en 546e eeuw (ca. XNUMX - ca. XNUMX v.Chr.) In Milete in het moderne Klein-Azië woonde Dergelijk. Sommige bronnen zeggen dat hij een wetenschapper was, anderen dat hij een rijke koopman was, en weer anderen noemen hem een ​​ondernemer (blijkbaar kocht hij in een jaar tijd alle oliepersen en leende ze vervolgens tegen een woekerbetaling). Sommigen zien hem, volgens de huidige mode en het model van wetenschap bedrijven, op zijn beurt als beschermheer: blijkbaar nodigde hij de wijze mannen uit, voedde ze en behandelde ze, en zei toen: "Nou, werk voor de glorie van ik en alle Wetenschap.” Veel serieuze bronnen zijn echter geneigd te beweren dat Thales, van vlees en bloed, helemaal niet bestond en dat zijn naam alleen diende als de personificatie van specifieke ideeën. Zoals het was, zo was het, en we zullen het waarschijnlijk nooit weten. De historicus van de wiskunde E. D. Smith schreef dat als er geen Thales was, er geen Pythagoras zou zijn, en niemand zoals Pythagoras, en zonder Pythagoras zou er noch Plato zijn, noch iemand zoals Plato. Waarschijnlijker. Laten we echter buiten beschouwing laten wat er zou zijn gebeurd als.

Pythagoras (ca. 572 - ca. 497 v.Chr.) gaf les in Crotona in Zuid-Italië, en het was daar dat de naar de meester vernoemde intellectuele beweging werd geboren: pythagorisme. Het was een ethisch-religieuze beweging en vereniging, gebaseerd, zoals we het vandaag de dag zouden noemen, op geheimen en geheime leringen, waarbij de studie van de wetenschap werd beschouwd als een van de middelen om de ziel te zuiveren. In de loop van een of twee generaties doorliep het pythagoreanisme de gebruikelijke stadia van de ontwikkeling van ideeën: aanvankelijke groei en expansie, crisis en verval. Echt geweldige ideeën houden daar niet op en sterven nooit voor altijd. De intellectuele leer van Pythagoras (hij bedacht de term die hij zichzelf noemde: filosoof of vriend van de wijsheid) en zijn discipelen domineerden gedurende de hele oudheid en keerden vervolgens terug in de Renaissance (onder de naam pantheïsme), en we staan ​​inderdaad onder de invloed ervan. Vandaag. De principes van het pythagoreanisme zijn zo ingebakken in de cultuur (althans de Europese cultuur) dat we moeite hebben te beseffen dat we anders zouden kunnen denken. Wij zijn niet minder verbaasd dan de heer Jourdain van Molière, die verrast was toen hij hoorde dat hij zijn hele leven in proza ​​had gesproken.

Het hoofdidee van het pythagoreanisme was het geloof dat de wereld is gerangschikt volgens een strikt plan en harmonie, en dat het de roeping van de mens is om deze harmonie te kennen. En juist het denken over de harmonie van de wereld vormt de leer van het pythagorisme. De Pythagoreeërs waren zeker zowel mystici als wiskundigen, hoewel het pas vandaag de dag gemakkelijk is om ze zo terloops te classificeren. Zij plaveiden de weg. Ze begonnen hun onderzoek naar de harmonie van de wereld, eerst muziek, astronomie, rekenen, enz.

Hoewel de mensheid ‘voor altijd’ ten prooi viel aan magie, verhief alleen de school van Pythagoras dit tot een algemeen toepasbare wet. "Cijfers maken vrede" - deze slogan was het beste kenmerk van de school. Cijfers hadden een ziel. Elk betekende iets, elk symboliseerde iets, elk weerspiegelde een deeltje van deze harmonie van het Universum, d.w.z. ruimte. Het woord zelf betekent ‘orde, orde’ (lezers weten dat cosmetica het gezicht gladder maakt en de schoonheid verbetert).

Verschillende bronnen geven verschillende betekenissen die de Pythagoreeërs aan elk getal gaven. Op de een of andere manier kan hetzelfde getal verschillende concepten symboliseren. De belangrijkste waren zes (perfect getal) I tien - de som van opeenvolgende getallen 1 + 2 + 3 + 4, samengesteld uit andere getallen, waarvan de symboliek tot op de dag van vandaag bewaard is gebleven.

Pythagoras leerde dus dat getallen het begin en de bron van alles zijn, dat ze - als je je dat voorstelt - met elkaar "vermengen" en dat we alleen de resultaten zien van wat ze doen. Gecreëerd, of beter gezegd ontwikkeld door Pythagoras, heeft de mystiek van getallen tegenwoordig geen "goede afdruk", en zelfs serieuze auteurs zien hier een mengeling van "pathos en absurditeit" of "wetenschap, mystiek en pure overdrijving". Het is moeilijk te begrijpen hoe de beroemde historicus Alexander Kravchuk kon schrijven dat Pythagoras en zijn studenten de filosofie vulden met visioenen, mythen, bijgeloof - alsof hij er niets van begreep. Omdat het er alleen zo uitziet vanuit het oogpunt van onze XNUMXe eeuw. De Pythagoreeërs forceerden niets, ze creëerden hun theorieën met een volkomen geweten. Misschien schrijft iemand over een paar eeuwen dat de hele relativiteitstheorie ook absurd, pretentieus en geforceerd was. En de numerieke symboliek, die ons een kwart miljoen jaar van Pythagoras scheidde, drong diep door in de cultuur en werd er een deel van, zoals Griekse en Duitse mythen, middeleeuwse ridderlijke heldendichten, Russische volksverhalen over Kost of het visioen van Juliusz Slowaaks de Slavische paus.

Mysterieuze irrationaliteit

Op het gebied van de meetkunde waren de Pythagoreeërs verbaasd figurami podobnymi. En het was tijdens de analyse van de stelling van Thales, de basiswet over de regels van gelijkenis, dat er een ramp plaatsvond. Er werden onvergelijkbare secties ontdekt, en dus irrationele getallen. Episodes die niet met een algemene maatstaf kunnen worden gemeten. Getallen die geen verhoudingen zijn. En het werd ontdekt in een van de eenvoudigste vormen: het vierkant.

Tegenwoordig omzeilen we dit feit in de schoolwetenschap, bijna zonder het op te merken. Is de diagonaal van een vierkant gelijk aan √2? Geweldig, hoeveel zou dat kunnen zijn? We drukken op twee knoppen op de rekenmachine: 1,4142... Oké, we weten al wat de vierkantswortel van twee is. Welke? Is dit irrationeel? Dit komt waarschijnlijk omdat we zo'n vreemd bord gebruiken, maar in feite dit is 1,4142. De rekenmachine liegt immers niet.

Als de lezer denkt dat ik overdrijf, dan... heel goed. Blijkbaar is het op Poolse scholen niet zo erg als bijvoorbeeld op Britse scholen, waar het allemaal om draait onmeetbaarheid ergens tussen sprookjes.

In het Pools is het woord ‘irrationeel’ niet zo eng als zijn tegenhanger in andere Europese talen. Er zijn rationele getallen, rationeel, rationeel, d.w.z.

Beschouw de redenering dat √2 dit is een irrationeel getal, dat wil zeggen, het is geen fractie van p/q, waarbij p en q gehele getallen zijn. In moderne taal ziet het er zo uit... Laten we aannemen dat √2 = p/q en dat deze breuk niet langer kan worden ingekort. In het bijzonder zijn zowel p als q oneven. Laten we het kwadrateren: 2q²=p². Het getal p kan sindsdien niet oneven zijn² zou hetzelfde zijn, maar aan de linkerkant van de gelijkheid staat een veelvoud van 2. Dit betekent dat p even is, d.w.z. p = 2r, wat p betekent²= 4 jaar². Laten we vergelijking 2q reduceren²= 4 jaar². wij krijgen D²= 2 jaar² en we zien dat q ook even moet zijn, en we gingen ervan uit dat dit niet het geval was. Ontvangen tegenstrijdigheid het bewijs eindigt - je kunt deze formule zo nu en dan in elk wiskundig boek vinden. Dit indirecte bewijs is een favoriete truc van de sofisten.

Ik zou echter willen benadrukken dat dit een moderne redenering is: de Pythagoreeërs beschikten niet over een dergelijk ontwikkeld algebraïsch apparaat. Ze waren op zoek naar een algemene maatstaf voor de zijde van een vierkant en de diagonaal ervan, wat hen op het idee bracht dat zo'n algemene maatstaf niet kon bestaan. De aanname van het bestaan ​​ervan leidt tot een tegenstrijdigheid. De vaste grond gleed onder mijn voeten weg. Alles moet door cijfers beschreven kunnen worden, en de diagonaal van een vierkant, dat iedereen met een stok in het zand kan tekenen, heeft geen lengte (dat wil zeggen meetbaar, omdat er geen andere getallen zijn). ‘Ons geloof was tevergeefs’, lijken de Pythagoreeërs te zeggen. Wat moeten we doen?

Er werden pogingen ondernomen om via sektarische methoden te ontsnappen. Iedereen die het bestaan ​​​​van irrationele getallen durft te ontdekken, zal ter dood worden gebracht, en blijkbaar voert de meester zelf - in strijd met het gebod van zachtmoedigheid - de eerste zin uit. Dan wordt alles een gordijn. Volgens de ene versie werden de Pythagoreeërs gedood (enigszins gered en dankzij hen werd het hele idee niet naar het graf gebracht), volgens een andere verdrijven de discipelen zelf, zo gehoorzaam, de aanbeden meester en beëindigt hij ergens zijn leven in ballingschap . De sekte houdt op te bestaan.

We kennen allemaal de uitspraak van Winston Churchill: "Nooit in de geschiedenis van menselijke conflicten waren zoveel mensen zoveel verschuldigd aan zo weinigen." Het ging over de piloten die in 1940 Engeland verdedigden tegen Duitse vliegtuigen. Als we 'menselijke conflicten' vervangen door 'menselijke gedachten', dan is het gezegde van toepassing op het handjevol Pythagoreeërs dat aan het einde van de jaren tachtig (zo weinig) aan de pogrom ontsnapte. XNUMXe eeuw voor Christus.

Dus ‘de gedachte ging ongedeerd voorbij’. Wat is het volgende? De gouden eeuw komt eraan. De Grieken verslaan de Perzen (Marathon - 490 v.Chr., Platezhe - 479). De democratie wordt sterker. Er ontstaan ​​nieuwe centra van filosofisch denken en nieuwe scholen. Aanhangers van het pythagorisme worden geconfronteerd met het probleem van irrationele getallen. Sommigen zeggen: “We zullen dit mysterie niet begrijpen; we kunnen er alleen maar over nadenken en Uncharted bewonderen." Deze laatste zijn pragmatischer en respecteren het geheim niet: “Als er iets mis is met deze cijfers, laten we ze dan met rust laten, over ongeveer 2500 jaar zal alles bekend worden. Misschien beheersen cijfers de wereld niet? Laten we beginnen met geometrie. Het zijn niet langer de cijfers die belangrijk zijn, maar hun verhoudingen en relaties.”

Voorstanders van de eerste richting zijn bij wiskundehistorici bekend als akoestiek, Ze leefden nog een paar eeuwen en dat was het. Deze laatste noemden zichzelf wiskunde (van het Griekse mathein = weten, leren). We hoeven niemand uit te leggen dat het juist deze aanpak is die heeft gewonnen: deze bestaat al vijfentwintig eeuwen en bloeit.

De overwinning van wiskundigen op ausmatica kwam vooral tot uiting in de verschijning van een nieuw symbool van de Pythagoreeërs: vanaf nu was het een pentagram (pentás = vijf, gramma = letter, inscriptie) - een regelmatige vijfhoek in de vorm van een ster. De takken snijden elkaar uiterst proportioneel: het geheel heeft altijd betrekking op het grotere deel, en het grotere deel op het kleinere deel. Hij belde goddelijke proportie, vervolgens geseculariseerd tot goud. De oude Grieken (en na hen de hele eurocentrische wereld) geloofden dat deze verhouding het meest aangenaam was voor het menselijk oog, en ze vonden deze bijna overal.

(Cyprianus Camille Norwid, “Prometidion”)

Ik eindig met nog een fragment, dit keer uit het gedicht “Faust” (vertaling door Wladyslaw August Kostelski). Welnu, het pentagram is ook een afbeelding van de vijf zintuigen en de beroemde ‘tovenaarsvoet’. In het gedicht van Goethe wilde dokter Faustus zichzelf tegen de duivel beschermen door dit symbool op de drempel van zijn huis te schilderen. Hij deed het terloops en dit is wat er gebeurde:

Faust

M ephistopheles

Faust

En dit gaat allemaal over de gebruikelijke vijfhoek aan het begin van het nieuwe schooljaar.