Geometrische paden en struikgewas

Terwijl ik dit artikel schreef, herinnerde ik me een heel oud lied van Jan Pietrzak, dat hij zong voor zijn satirische activiteit in het Pod Egidą-cabaret, erkend in de Poolse Volksrepubliek als een veiligheidsklep; men zou oprecht kunnen lachen om de paradoxen van het systeem. In dit lied beval de auteur socialistische politieke participatie aan, waarbij hij degenen die apolitiek willen zijn belachelijk maakte en de radio in de krant uitschakelde. "Het is beter om weer naar school te gaan lezen", zong de toen XNUMX-jarige Petshak ironisch.

Ik ga terug naar school lezen. Ik herlees (niet voor het eerst) het boek van Shchepan Yelensky (1881-1949) “Lylavati”. Voor weinig lezers zegt het woord zelf iets. Dit is de naam van de dochter van de beroemde hindoe-wiskundige die bekend staat als Bhaskara (1114-1185), genaamd Akaria, of de wijze die zijn boek over algebra die naam gaf. Lilavati werd later zelf een gerenommeerd wiskundige en filosoof. Volgens andere bronnen was zij het die het boek zelf schreef.

Szczepan Yelensky gaf dezelfde titel aan zijn boek over wiskunde (eerste druk, 1926). Het is misschien zelfs moeilijk om dit boek een wiskundig werk te noemen - het was meer een reeks puzzels en grotendeels herschreven vanuit Franse bronnen (copyright in de moderne zin bestond niet). In ieder geval was het jarenlang het enige populaire Poolse boek over wiskunde - later werd Jelensky's tweede boek, Pythagoras' Sweets, eraan toegevoegd. Dus jonge mensen die geïnteresseerd waren in wiskunde (en dat is precies wat ik ooit was) hadden niets om uit te kiezen ...

aan de andere kant moest "Lilavati" bijna uit het hoofd gekend worden... Ah, er waren tijden... Hun grootste voordeel was dat ik toen... een tiener was. Tegenwoordig kijk ik vanuit het oogpunt van een goed opgeleide wiskundige naar Lilavati op een heel andere manier - misschien als een klimmer in de bochten van het pad naar Shpiglasova Pshelench. Noch het een noch het ander verliest zijn charme ... In zijn karakteristieke stijl schrijft Shchepan Yelensky, die in zijn persoonlijke leven de zogenaamde nationale ideeën belijdt, in het voorwoord:

Zonder in te gaan op de beschrijving van nationale kenmerken, zal ik zeggen dat Yelensky's woorden over wiskunde zelfs na negentig jaar hun relevantie niet hebben verloren. Wiskunde leert je nadenken. Het is een feit. Kunnen we je anders, eenvoudiger en mooier leren denken? Misschien. Het is alleen... we kunnen het nog steeds niet. Ik leg mijn leerlingen die geen wiskunde willen doen uit dat dit ook een test is van hun intelligentie. Als je niet echt eenvoudige wiskundige theorie kunt leren, dan... zijn je mentale vermogens misschien slechter dan we allebei zouden willen...?

Tekens in het zand

En hier is het eerste verhaal in "Lylavati" - een verhaal beschreven door de Franse filosoof Joseph de Maistre (1753-1821).

Een matroos van een schipbreuk werd door de golven op een lege kust geworpen, die hij als onbewoond beschouwde. Plots zag hij in het kustzand een spoor van een geometrische figuur die voor iemand was getekend. Op dat moment realiseerde hij zich dat het eiland niet verlaten is!

Yelensky citeert de Mestri en schrijft: geometrische figuurhet zou een stomme uitdrukking zijn geweest voor het ongelukkige, schipbreukelinge toeval, maar hij toonde hem in één oogopslag verhouding en aantal, en dit luidde een verlicht man in. Tot zover de geschiedenis.

Merk op dat een zeeman dezelfde reactie zal veroorzaken, bijvoorbeeld door de letter K, ... en andere sporen van de aanwezigheid van een persoon te tekenen. Hier wordt de geometrie geïdealiseerd.

De astronoom Camille Flammarion (1847-1925) stelde echter voor dat beschavingen elkaar op afstand begroeten met behulp van geometrie. Hij zag hierin de enige juiste en mogelijke poging tot communicatie. Laten we zulke marsmannetjes de driehoeken van Pythagoras laten zien... ze zullen ons antwoorden met Thales, wij zullen ze beantwoorden met Vieta-patronen, hun cirkel past in een driehoek, dus een vriendschap begon...

Schrijvers als Jules Verne en Stanislav Lem kwamen op dit idee terug. En in 1972 werden tegels met geometrische (en niet alleen) patronen aan boord van de Pioneer-sonde geplaatst, die nog steeds de uitgestrekte ruimte doorkruist, nu bijna 140 astronomische eenheden van ons verwijderd (1 I is de gemiddelde afstand van de aarde tot de aarde) . zon, d.w.z. ongeveer 149 miljoen km). De tegel is gedeeltelijk ontworpen door astronoom Frank Drake, bedenker van de controversiële regel over het aantal buitenaardse beschavingen.

Geometrie is geweldig. We kennen allemaal het algemene standpunt over de oorsprong van deze wetenschap. Wij (wij mensen) zijn net begonnen met het meten van het land (en later het land) voor de meest utilitaire doeleinden. Afstanden bepalen, rechte lijnen trekken, rechte hoeken markeren en volumes berekenen werd langzamerhand een noodzaak. Vandaar het geheel geometrie ("Meting van de aarde"), vandaar alle wiskunde ...

Dit heldere beeld van de geschiedenis van de wetenschap heeft ons echter enige tijd vertroebeld. Want als wiskunde alleen nodig zou zijn voor operationele doeleinden, zouden we ons niet bezighouden met het bewijzen van eenvoudige stellingen. "Je ziet dat dit überhaupt waar zou moeten zijn", zou iemand zeggen nadat je hebt gecontroleerd dat in verschillende rechthoekige driehoeken de som van de kwadraten van de hypotenusa gelijk is aan het kwadraat van de hypotenusa. Waarom zo'n formalisme?

Pruimentaart moet lekker zijn, het computerprogramma moet werken, de machine moet werken. Als ik de inhoud van het vat dertig keer heb geteld en alles is in orde, waarom anders?

Ondertussen kwam het bij de oude Grieken op dat er formeel bewijsmateriaal moest worden gevonden.

Wiskunde begint dus met Thales (625-547 v.Chr.). Aangenomen wordt dat het Milete was die zich begon af te vragen waarom. Het is voor slimme mensen niet genoeg dat ze iets hebben gezien, dat ze ergens van overtuigd zijn. Ze zagen de behoefte aan bewijs, een logische opeenvolging van argumenten van aanname tot stelling.

Ze wilden ook meer. Waarschijnlijk was het Thales die voor het eerst natuurkundige verschijnselen probeerde te verklaren op een naturalistische manier, zonder goddelijke tussenkomst. De Europese filosofie begon met de filosofie van de natuur - met wat er al achter de natuurkunde zit (vandaar de naam: metafysica). Maar de fundamenten van de Europese ontologie en natuurfilosofie werden gelegd door de Pythagoreeërs (Pythagoras, ca. 580-ca. 500 v.Chr.).

Hij stichtte zijn eigen school in Crotone in het zuiden van het schiereiland Apennijnen - tegenwoordig zouden we het een sekte noemen. Wetenschap (in de huidige zin van het woord), mystiek, religie en fantasie zijn nauw met elkaar verweven. Thomas Mann presenteerde heel mooi de lessen wiskunde in een Duits gymnasium in de roman Doctor Faustus. Dit fragment, vertaald door Maria Kuretskaya en Witold Virpsha, luidt als volgt:

In het interessante boek van Charles van Doren, The History of Knowledge from the Dawn of History to the Present Day, vond ik een heel interessant standpunt. In een van de hoofdstukken beschrijft de auteur de betekenis van de school van Pythagoras. Alleen al de titel van het hoofdstuk viel me op. Er staat: "The Invention of Mathematics: The Pythagoreans".

We bespreken vaak of wiskundige theorieën worden ontdekt (bijv. onbekende landen) of uitgevonden (bijv. machines die voorheen niet bestonden). Sommige creatieve wiskundigen zien zichzelf als onderzoekers, anderen als uitvinders of ontwerpers, minder vaak counters.

Maar de auteur van dit boek schrijft over de uitvinding van de wiskunde in het algemeen.

Van overdrijving tot waanvoorstellingen

Na dit lange inleidende gedeelte ga ik verder met het allereerste begin. geometrieom te beschrijven hoe een te grote afhankelijkheid van geometrie een wetenschapper kan misleiden. Johannes Kepler staat in de natuurkunde en astronomie bekend als de ontdekker van de drie bewegingswetten van hemellichamen. Ten eerste beweegt elke planeet in het zonnestelsel rond de zon in een elliptische baan, waarvan een van de brandpunten de zon is. Ten tweede trekt de leidende straal van de planeet, getrokken vanaf de zon, met regelmatige tussenpozen gelijke velden. Ten derde is de verhouding van het kwadraat van de omwentelingsperiode van een planeet rond de zon tot de derde macht van de halve lange as van zijn baan (d.w.z. de gemiddelde afstand tot de zon) constant voor alle planeten in het zonnestelsel.

Misschien was dit de derde wet - er waren veel gegevens en berekeningen voor nodig om het vast te stellen, wat Kepler ertoe bracht door te gaan met zoeken naar patronen in de beweging en positie van de planeten. De geschiedenis van zijn nieuwe "ontdekking" is zeer leerzaam. Sinds de oudheid hebben we niet alleen regelmatige veelvlakken bewonderd, maar ook argumenten die aantonen dat er maar vijf in de ruimte zijn. Een driedimensionaal veelvlak wordt regelmatig genoemd als de vlakken identieke regelmatige veelhoeken zijn en elk hoekpunt hetzelfde aantal randen heeft. Ter illustratie: elke hoek van een regelmatig veelvlak moet "er hetzelfde uitzien". Het bekendste veelvlak is de kubus. Iedereen heeft wel eens een gewone enkel gezien.

De regelmatige tetraëder is minder bekend en wordt op school de regelmatige driehoekige piramide genoemd. Het lijkt op een piramide. De overige drie regelmatige veelvlakken zijn minder bekend. Een octaëder wordt gevormd wanneer we de middelpunten van de randen van een kubus verbinden. De dodecaëder en de icosaëder zien er al uit als ballen. Gemaakt van zacht leer, zouden ze comfortabel zijn om te graven. De redenering dat er geen andere regelmatige veelvlakken zijn dan de vijf Platonische lichamen is erg goed. Ten eerste realiseren we ons dat als het lichaam regelmatig is, hetzelfde aantal (laat q) identieke regelmatige veelhoeken bij elk hoekpunt moet samenkomen, laat dit p-hoeken zijn. Nu moeten we onthouden wat de hoek is in een regelmatige veelhoek. Als iemand het zich niet herinnert van school, herinneren we je eraan hoe je het juiste patroon kunt vinden. We maakten een uitstapje om de hoek. Bij elk hoekpunt draaien we over dezelfde hoek a. Als we rond de polygoon gaan en terugkeren naar het startpunt, hebben we p zulke bochten gemaakt, en in totaal zijn we 360 ​​graden gedraaid.

Maar α is 180 graden complement van de hoek die we willen berekenen, en is dat dus ook

We hebben de formule gevonden voor de hoek (een wiskundige zou zeggen: maten van een hoek) van een regelmatige veelhoek. Even checken: in de driehoek p = 3 is er geen a

Soortgelijk. Wanneer p = 4 (vierkant), dan

graden is ook goed.

Wat krijgen we voor een vijfhoek? Dus wat gebeurt er als er q veelhoeken zijn, waarbij elke p dezelfde hoeken heeft

 graden aflopend op één hoekpunt? Als het in een vlak zou zijn, zou er een hoek ontstaan

graden en kan niet meer dan 360 graden zijn - omdat de polygonen elkaar dan overlappen.

Aangezien deze polygonen elkaar echter in de ruimte ontmoeten, moet de hoek kleiner zijn dan de volledige hoek.

En hier is de ongelijkheid waaruit het allemaal volgt:

Deel het door 180, vermenigvuldig beide delen met p, orde (p-2) (q-2) < 4. Wat volgt? Laten we ons ervan bewust zijn dat p en q natuurlijke getallen moeten zijn en dat p > 2 (waarom? En wat is p?) en ook q > 2. Er zijn niet veel manieren om het product van twee natuurlijke getallen kleiner dan 4 te maken. zal ze allemaal opsommen in tabel 1.

Ik plaats geen tekeningen, iedereen kan deze figuren op internet zien... Op internet... Ik zal een lyrische uitweiding niet weigeren - misschien is het interessant voor jonge lezers. In 1970 sprak ik op een seminar. Het onderwerp was moeilijk. Ik had weinig tijd om me voor te bereiden, ik zat 's avonds. Het hoofdartikel was alleen-lezen. De plaats was gezellig, met een werksfeer, nou ja, het sloot om zeven uur. Toen bood de bruid (nu mijn vrouw) zelf aan om het hele artikel voor mij te herschrijven: ongeveer een dozijn gedrukte pagina's. Ik heb het gekopieerd (nee, niet met een ganzenveer, we hadden zelfs pennen), de lezing was een succes. Vandaag heb ik geprobeerd deze publicatie te vinden, die al oud is. Ik herinner me alleen de naam van de auteur... Zoeken op internet duurde lang... een kwartier. Ik denk er met een grijns en een beetje onterechte spijt aan terug.

We gaan terug naar Keplera in geometrie. Blijkbaar voorspelde Plato het bestaan ​​van de vijfde reguliere vorm omdat hij iets miste dat de hele wereld besloeg. Misschien heeft hij daarom een ​​leerling (Theajtet) opgedragen haar te zoeken. Zoals het was, zo was het, op basis waarvan de dodecaëder werd ontdekt. We noemen deze houding van Plato pantheïsme. Alle wetenschappers, tot Newton toe, zwichten er in meer of mindere mate voor. Sinds de zeer rationele achttiende eeuw is de invloed ervan drastisch afgenomen, al hoeven we ons er niet voor te schamen dat we er allemaal op de een of andere manier aan bezwijken.

In Kepler's concept van het bouwen van het zonnestelsel was alles correct, de experimentele gegevens vielen samen met de theorie, de theorie was logisch coherent, heel mooi ... maar volkomen onjuist. In zijn tijd waren er slechts zes planeten bekend: Mercurius, Venus, Aarde, Mars, Jupiter en Saturnus. Waarom zijn er maar zes planeten? vroeg Kepler. En welke regelmaat bepaalt hun afstand tot de zon? Hij nam aan dat alles met elkaar verbonden was, dat geometrie en kosmogonie zijn nauw aan elkaar verwant. Uit de geschriften van de oude Grieken wist hij dat er slechts vijf regelmatige veelvlakken waren. Hij zag dat er vijf holtes waren tussen de zes banen. Dus misschien komt elk van deze vrije ruimtes overeen met een regelmatig veelvlak?

Na een aantal jaren van observatie en theoretisch werk, creëerde hij de volgende theorie, met behulp waarvan hij de afmetingen van de banen vrij nauwkeurig berekende, die hij presenteerde in het boek "Mysterium Cosmographicum", gepubliceerd in 1596: Stel je een gigantische bol voor, waarvan de diameter de diameter is van de baan van Mercurius in zijn jaarlijkse beweging rond de zon. Stel je dan voor dat er op deze bol een regelmatige octaëder is, daarop een bol, daarop een icosaëder, daarop weer een bol, daarop een dodecaëder, daarop nog een bol, daarop een tetraëder, dan weer een bol, een kubus en tot slot wordt op deze kubus de bal beschreven.

Kepler concludeerde dat de diameters van deze opeenvolgende bollen de diameters waren van de banen van andere planeten: Mercurius, Venus, Aarde, Mars, Jupiter en Saturnus. De theorie leek erg nauwkeurig te zijn. Helaas viel dit samen met de experimentele gegevens. En wat is een beter bewijs van de juistheid van een wiskundige theorie dan de overeenstemming ervan met experimentele gegevens of waarnemingsgegevens, vooral "uit de hemel genomen"? Ik vat deze berekeningen samen in tabel 2. Dus wat deed Kepler? Ik heb geprobeerd en geprobeerd totdat het werkte, dat wil zeggen, wanneer de configuratie (volgorde van bollen) en de resulterende berekeningen samenvielen met de waarnemingsgegevens. Hier zijn moderne Kepler-cijfers en berekeningen:

Men kan bezwijken voor de fascinatie van de theorie en geloven dat de metingen aan de hemel onnauwkeurig zijn, en niet de berekeningen die in de stilte van de werkplaats zijn gemaakt. Helaas weten we vandaag dat er minstens negen planeten zijn en dat alle toevalligheden van resultaten slechts toeval zijn. Jammer. Het was zo mooi...