Reis naar de onwerkelijke wereld van de wiskunde

Ik schreef dit artikel op een woensdag na een lezing en praktijk op een computerwetenschappencollege. Ik verdedig mij tegen kritiek op de leerlingen van deze school, hun kennis, houding ten opzichte van de wetenschap en vooral: leervaardigheden. Dit... niemand leert ze.

Waarom ben ik zo defensief? Om een ​​simpele reden - ik ben op een leeftijd waarop de wereld om ons heen waarschijnlijk nog niet wordt begrepen. Misschien leer ik ze paarden in- en uit te spannen, en niet autorijden? Misschien leer ik ze schrijven met een ganzenveer? Hoewel ik een betere mening over een persoon heb, beschouw ik mezelf als "volgend", maar...

Tot voor kort hadden ze het op de middelbare school over complexe getallen. En het was op deze woensdag dat ik thuiskwam, stopte - bijna geen van de studenten heeft nog geleerd wat het is en hoe ze deze nummers moeten gebruiken. Sommigen kijken naar alle wiskunde als een gans naar een geschilderde deur. Maar ik was ook oprecht verrast toen ze me vertelden hoe ik moest leren. Simpel gezegd, elk uur van een college is twee uur huiswerk: een leerboek lezen, leren hoe je problemen over een bepaald onderwerp kunt oplossen, enz. Nadat we ons op deze manier hebben voorbereid, komen we bij de oefeningen, waar we alles verbeteren ... Aangenaam dachten de studenten blijkbaar dat het zitten bij de lezing - meestal uit het raam kijkend - al de toegang tot kennis in het hoofd garandeert.

Stop! Dat is genoeg. Ik zal mijn antwoord beschrijven op een vraag die ik kreeg tijdens een les met fellows van het Nationaal Kinderfonds, een instelling die getalenteerde kinderen uit het hele land ondersteunt. De vraag (of beter gezegd het voorstel) was:

— Kun je ons iets vertellen over onwerkelijke getallen?

‘Natuurlijk,’ antwoordde ik. 

De realiteit van cijfers

“Een vriend is een andere ik, vriendschap is de verhouding tussen de getallen 220 en 284”, zei Pythagoras. Het punt hier is dat de som van de delers van het getal 220 gelijk is aan 284, en de som van de delers van het getal 284 is gelijk aan 220:

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284. Merk trouwens op dat de bijbelse Jakob Esau 220 schapen en rammen gaf als teken van vriendschap (Genesis 32:14).

Een ander interessant toeval tussen de getallen 220 en 284 is dit: de zeventien hoogste priemgetallen zijn 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, en 59.

Hun som is 2x220 en de som van de vierkanten is 59x284.

Eerst. Er is geen concept van "reëel getal". Het is alsof je na het lezen van een artikel over olifanten vraagt: "Nu gaan we vragen om niet-olifanten." Er zijn heel en niet-heel, rationeel en irrationeel, maar er zijn geen onwerkelijke. Concreet: getallen die niet echt zijn, worden niet ongeldig genoemd. Er zijn veel soorten ‘getallen’ in de wiskunde, en ze verschillen net zo van elkaar als – om een ​​zoölogische vergelijking te maken – een olifant en een regenworm.

Ten tweede zullen we bewerkingen uitvoeren waarvan je misschien al weet dat ze verboden zijn: het trekken van de vierkantswortels van negatieve getallen. Welnu, wiskunde zal dergelijke barrières overwinnen. Heeft het echter zin? Of een theorie voor altijd in de opslagplaats van kennis terechtkomt, hangt in de wiskunde, net als in elke andere wetenschap, af van de toepassing ervan. Als het nutteloos is, belandt het in de prullenbak en vervolgens in een of ander afval van de geschiedenis van kennis. Zonder de cijfers waar ik het aan het einde van dit artikel over heb, is het onmogelijk om wiskunde te ontwikkelen. Maar laten we beginnen met wat kleine dingen. Wat zijn echte getallen, weet je. Ze vullen de getallenlijn dicht en zonder gaten. Je weet ook wat natuurlijke getallen zijn: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, …….. - ze passen er allemaal niet in herinnering zelfs de grootste. Ze hebben ook een mooie naam: naturel. Ze hebben zoveel interessante eigenschappen. Wat vind je van dit:

1 + 15 + 42 + 98 + 123 + 179 + 206 + 220 = 3 + 11 + 46 + 92 + 129 + 175 + 210 + 218

1² + 15² + 42² + 98² + 123² + 179² + 206² + 220² = 3² + 11² + 46² + 92² + 129² + 175² + 210² + 218²

1³ + 15³ + 42³ + 98³ + 123³ + 179³ + 206³ + 220³ = 3³ + 11³ + 46³ + 92³ + 129³ + 175³ + 210³ + 218³

1⁴ + 15⁴ + 42⁴ + 98⁴ + 123⁴ + 179⁴ + 206⁴ + 220⁴ = 3⁴ + 11⁴ + 46⁴ + 92⁴ + 129⁴ + 175⁴ + 210⁴ + 218⁴

1⁵ + 15⁵ + 42⁵ + 98⁵ + 123⁵ + 179⁵ + 206⁵ + 220⁵ = 3⁵ + 11⁵ + 46⁵ + 92⁵ + 129⁵ + 175⁵ + 210⁵ + 218⁵

1⁶ + 15⁶ + 42⁶ + 98³ + 123⁶ + 179⁶ + 206⁶ + 220⁶ = 3⁶ + 11⁶ + 46⁶ + 92⁶ + 129⁶ + 175⁶ + 210⁶ + 218⁶

1⁷ + 15⁷ + 42⁷ + 98³ + 123⁷ + 179⁷ + 206⁷ + 220⁷ = 3⁷ + 11⁷ + 46⁷ + 92⁷ + 129⁷ + 175⁷ + 210⁷ + 218⁷

‘Het is normaal om geïnteresseerd te zijn in de natuurlijke getallen’, zei Carl Lindenholm, en Leopold Kronecker (1823–1891) zei het kort en bondig: ‘God heeft de natuurlijke getallen geschapen – al het andere is het werk van de mens!’ Breuken (door wiskundigen rationale getallen genoemd) hebben ook verbazingwekkende eigenschappen:

en in gelijkheid:

je kunt vanaf de linkerkant de plussen wrijven en vervangen door vermenigvuldigingstekens - en de gelijkheid blijft waar:

En ga zo maar door.

Zoals bekend zeggen ze voor breuken a/b, waarbij a en b gehele getallen zijn en b ≠ 0 rationaal getal. Maar zo noemen ze zichzelf alleen in het Pools. Ze spreken Engels, Frans, Duits en Russisch. rationaal getal. In het Engels: rationale getallen. Irrationele nummers Het is irrationeel, irrationeel. We spreken ook in het Pools over irrationele theorieën, ideeën en daden - dit is waanzin, denkbeeldig, onverklaarbaar. Ze zeggen dat vrouwen bang zijn voor muizen - hoe irrationeel is dat?

In de oudheid hadden getallen een ziel. Elk betekende iets, elk symboliseerde iets, elk weerspiegelde een deeltje van die harmonie van het heelal, dat wil zeggen, in het Grieks, de kosmos. Het woord ‘kosmos’ zelf betekent ‘orde, orde’. De belangrijkste waren zes (het perfecte getal) en tien, de som van de opeenvolgende getallen 1+2+3+4, bestaande uit andere getallen waarvan de symboliek tot op de dag van vandaag bewaard is gebleven. Pythagoras leerde dus dat getallen het begin en de bron van alles zijn, en alleen de ontdekking irrationele nummers veranderde de Pythagoras-beweging in de richting van geometrie. De redenering kennen we van school

√2 - irrationeel getal

Want stel dat dat zo is: en dat deze fractie niet kan worden verkleind. In het bijzonder zijn zowel p als q oneven. Laten we het kwadrateren: 2q²=p². Het getal p kan sindsdien niet oneven zijn² zou hetzelfde zijn, maar aan de linkerkant van de gelijkheid staat een veelvoud van 2. Dit betekent dat p even is, d.w.z. p = 2r, wat p betekent²= 4 jaar². Laten we vergelijking 2q reduceren²= 4 jaar² tegen 2. We krijgen q²= 2 jaar² en we zien dat q ook even moet zijn, en we gingen ervan uit dat dit niet het geval was. De resulterende tegenstrijdigheid completeert het bewijs - deze formule is vaak in elk wiskundig boek te vinden. Dit indirecte bewijs is een favoriete truc van de sofisten.

Deze onmetelijkheid kon door de Pythagoreeërs niet worden begrepen. Alles moet door cijfers beschreven kunnen worden, en de diagonaal van een vierkant, dat iedereen met een stok in het zand kan tekenen, heeft geen, dat wil zeggen, meetbare lengte. ‘Ons geloof was tevergeefs’, lijken de Pythagoreeërs te zeggen. Hoe komt het? Het is nogal... irrationeel. De Unie probeerde zichzelf te redden met sektarische methoden. Iedereen die zijn bestaan ​​durft te onthullen irrationele nummers, zou met de doodstraf worden bestraft, en blijkbaar werd de eerste straf door de meester zelf uitgevoerd.

Maar ‘de gedachte ging ongedeerd voorbij’. De gouden eeuw is aangebroken. De Grieken versloegen de Perzen (Marathon 490, Plache 479). De democratie werd sterker, er ontstonden nieuwe centra van filosofisch denken en nieuwe scholen. De volgelingen van het pythagorisme worstelden nog steeds met irrationele getallen. Sommigen predikten: we zullen dit mysterie niet begrijpen; we kunnen er alleen maar over nadenken en Uncharted bewonderen. Deze laatsten waren pragmatischer en respecteerden het geheim niet. In die tijd verschenen er twee mentale constructies die het mogelijk maakten om irrationele getallen te begrijpen. Het feit dat we ze vandaag de dag vrij goed begrijpen, behoort toe aan Eudoxus (XNUMXe eeuw voor Christus), en pas aan het einde van de XNUMXe eeuw gaf de Duitse wiskundige Richard Dedekind de ontwikkeling van de theorie van Eudoxus in overeenstemming met de eisen van de strikte wiskundige logica.

Veel cijfers of martelingen

Zou je zonder cijfers kunnen leven? Zelfs als wat het leven zou zijn... We zouden naar de winkel moeten om schoenen met een stok te kopen, waarvan we eerder de lengte van de voet hebben gemeten. "Ik zou graag appels willen, ah, hier is het!" – we zouden verkopers op de markt laten zien. "Hoe ver is het van Modlin naar Nowy Dwur Mazowiecki"? "Best dichtbij!"

Cijfers worden gebruikt om te meten. Met hun hulp brengen we ook veel andere concepten tot uitdrukking. De schaal van de kaart laat bijvoorbeeld zien hoeveel de oppervlakte van het land is afgenomen. Een twee-op-een-schaal, of eenvoudigweg 2, drukt uit dat iets in omvang is verdubbeld. Laten we wiskundig zeggen: elke homogeniteit komt overeen met een getal - de schaal ervan.

taak. We hebben een xerografische kopie gemaakt, waarbij de afbeelding verschillende keren is vergroot. Vervolgens werd het vergrote fragment opnieuw b maal vergroot. Wat is de algemene vergrotingsschaal? Antwoord: a × b vermenigvuldigd met b. Deze schalen moeten worden vermenigvuldigd. Het getal min één, -1, komt overeen met één precisie die gecentreerd is, dat wil zeggen een rotatie van 180 graden. Welk getal komt overeen met een rotatie van 90 graden? Een dergelijk aantal bestaat niet. Het is zo, het is... of beter gezegd: het zal binnenkort gebeuren. Ben je klaar voor mentale marteling? Wees moedig en neem de wortel van min één. Ik luister naar? Wat kun je niet doen? Ik zei tenslotte dat je moedig moest zijn. Eruit halen! Hé, nou, trekken, trekken... Ik zal helpen... Hier: −1 Nu we het hebben, laten we het proberen te gebruiken... Natuurlijk kunnen we nu de wortels van alle negatieve getallen nemen, want voorbeeld.:

√-4 = 2√-1, √-16 = 4√-1

"Ongeacht de mentale pijn die het met zich meebrengt." Dit is wat Girolamo Cardano schreef in 1539, in een poging de mentale problemen te overwinnen die gepaard gaan met - zoals het al snel werd genoemd - denkbeeldige hoeveelheden. Hij dacht zo...

...taak. Verdeel 10 in twee delen, waarvan het product 40 is. Ik herinner me dat hij uit de vorige aflevering zoiets schreef: Zeker onmogelijk. Laten we dit echter doen: deel 10 in twee gelijke delen, elk gelijk aan 5. Vermenigvuldig ze - het bleek 25. Trek van de resulterende 25 nu 40 af, als je wilt, en je krijgt -15. Kijk nu: √-15 opgeteld en afgetrokken van 5 geeft je het product van 40. Dit zijn de getallen 5-√-15 en 5 + √-15. De verificatie van het resultaat werd door Cardano als volgt uitgevoerd:

“Ongeacht het verdriet dat het met zich meebrengt, vermenigvuldig 5 + √-15 met 5-√-15. We krijgen 25 - (-15), wat gelijk is aan 25 + 15. Dus het product is 40 .... Het is echt moeilijk."

Nou, hoeveel is het: (1 + √-1) (1-√-1)? Laten we vermenigvuldigen. Onthoud dat √-1 × √-1 = -1. Geweldig. Nu een moeilijker probleem: van a + b√-1 naar ab√-1. Wat is er gebeurd? Natuurlijk, zoals dit: (a + b√-1) (ab√-1) = a²+b²

Wat is hier zo interessant aan? Bijvoorbeeld het feit dat we uitdrukkingen kunnen factoriseren die we ‘eerder niet kenden’. Verkorte vermenigvuldigingsformule voor²-b² je herinnert je waarschijnlijk de formule voor²+b² het gebeurde niet omdat het niet kon gebeuren. In het domein van de reële getallen, de polynoom²+b² dit is onvermijdelijk. Laten we “onze” vierkantswortel van “min één” aanduiden met de letter i.²= -1. Dit is een ‘onwerkelijk’ priemgetal. En dit is wat een vlak beschrijft dat 90 graden draait. Waarom? Ten slotte,²= -1, en het combineren van een rotatie van 90 graden en nog een rotatie van 180 graden geeft een rotatie van 45 graden. Welk type rotatie wordt beschreven? Duidelijk een bocht van XNUMX graden. Wat betekent de -i? Het is iets ingewikkelder:

(-I)² = -i × (-i) = + ik² = -1

Dus -i beschrijft ook een rotatie van 90 graden, precies in de tegenovergestelde richting van de rotatie van i. Welke is links en welke is rechts? U moet een afspraak maken. We nemen aan dat het getal i de rotatie specificeert in de richting die wiskundigen als positief beschouwen: tegen de klok in. Het getal -i beschrijft de rotatie in de richting waarin de wijzers bewegen.

Maar bestaan ​​er getallen als i en -i? Zijn! Wij hebben ze eenvoudigweg tot leven gebracht. Ik luister naar? Dat ze alleen in ons hoofd bestaan? Wat kun je verwachten? Alle andere getallen bestaan ​​ook alleen in onze geest. We moeten zien of onze pasgeboren aantallen zullen overleven. Om precies te zijn: is het ontwerp logisch en zullen ze ergens nuttig voor zijn? Geloof mij alstublieft op mijn woord dat alles in orde is en dat deze nieuwe cijfers erg nuttig zijn. Getallen als 3+i, 5-7i, in een meer algemene vorm: a+bi worden complexe getallen genoemd. Ik heb je laten zien hoe je ze kunt krijgen door het vliegtuig te draaien. Ze kunnen op verschillende manieren worden ingevoerd: als punten van een vlak, als bepaalde polynomen, als bepaalde numerieke arrays... en elke keer zijn ze hetzelfde: vergelijking x² +1=0 er is geen element... hocus pocus bestaat al!!!! Laten we blij zijn en blij zijn!!!

Einde van de rondleiding

Dit is het einde van onze eerste rondreis door het land van de valse cijfers. Van de andere onaardse getallen zal ik ook degenen noemen die oneindig veel cijfers vooraan hebben en niet achter (ze worden 10-adic genoemd, voor ons zijn p-adic belangrijker, waarbij p een priemgetal is), bijvoorbeeld X = ... ... ... 96109004106619977392256259918212890625

Laten we alsjeblieft X tellen². Omdat? Wat als we het kwadraat berekenen van een getal met een oneindig aantal cijfers erachter? Nou, laten we hetzelfde doen. Laten we erachter komen dat X² = H.

Laten we nog een dergelijk getal zoeken met een oneindig aantal cijfers ervoor dat aan de vergelijking voldoet. Tip: het kwadraat van een getal dat eindigt op zes eindigt ook op zes. Het kwadraat van een getal dat eindigt op 76 eindigt ook op 76. Het kwadraat van een getal dat eindigt op 376 eindigt ook op 376. Het kwadraat van een getal dat eindigt op 9376 eindigt ook op 9376. Het kwadraat van een getal dat eindigt op XNUMX... Er zijn ook getallen die zo klein zijn dat ze, ook al zijn ze positief, kleiner blijven dan enig ander positief getal. Ze zijn zo klein dat het soms voldoende is om ze vierkant te maken om nul te krijgen. Er zijn getallen die niet voldoen aan de voorwaarde a × b = b × a. Er zijn ook oneindig veel getallen. Hoeveel natuurlijke getallen zijn er? Oneindig veel? Ja, maar hoeveel? In welk getal kan dit worden uitgedrukt? Antwoord: het kleinste van oneindige getallen; het is gemerkt met een mooie letter: A en aangevuld met een nulindex A₀ , alef-nul.

Er zijn ook cijfers waarvan we niet weten dat ze bestaan... of waar we naar believen wel of niet in kunnen geloven. En daarover gesproken: ik hoop dat je nog steeds van Unreal Numbers, Fantasy Species Numbers houdt.