Nieuwe machine wiskunde? Elegante patronen en hulpeloosheid

Volgens sommige experts kunnen machines compleet nieuwe wiskunde bedenken of, zo je wilt, ontdekken, die wij mensen nog nooit hebben gezien of uitgevonden. Anderen beweren dat machines niets uit zichzelf uitvinden, dat ze alleen formules kunnen weergeven die we op een andere manier kennen, en dat ze sommige wiskundige problemen helemaal niet aankunnen.

Onlangs presenteerde een groep wetenschappers van het Technion Instituut in Israël en Google geautomatiseerd systeem voor het maken van stellingendie ze de Ramanujan-machine naar de wiskundige noemden Srinivasi Ramanujandie duizenden innovatieve formules in de getaltheorie ontwikkelden met weinig of geen formeel onderwijs. Het door de onderzoekers ontwikkelde systeem heeft een aantal originele en belangrijke formules omgezet in universele constanten die in de wiskunde voorkomen. Het werk over dit onderwerp is gepubliceerd in het tijdschrift Nature.

Een van de door de machine gegenereerde formules kan worden gebruikt om de waarde van een zogenaamde universele constante te berekenen Catalaans nummer, effectiever dan het gebruik van eerder bekende formules die door de mens zijn ontdekt. Wetenschappers beweren dat echter Ramanujans auto het is niet bedoeld om de wiskunde van mensen af ​​te pakken, maar juist om hulp te bieden aan wiskundigen. Dit betekent echter niet dat hun systeem geen ambitie heeft. Terwijl ze schrijven, probeert de Machine "de wiskundige intuïtie van de grote wiskundigen te imiteren en aanwijzingen te geven voor verder wiskundig onderzoek."

Het systeem doet gissingen over de waarden van universele constanten (zoals) geschreven in elegante formules die kettingbreuken of kettingbreuken worden genoemd (1). Dit is de naam voor de manier om een ​​reëel getal uit te drukken als een breuk in een speciale vorm of de limiet van dergelijke breuken. Een kettingbreuk kan eindig zijn of oneindig veel quotiënten hebben_i/b_i; fractie A_k/B_k verkregen door gedeeltelijke quotiënten in een kettingbreuk weg te gooien, beginnend bij de (k + 1)e, wordt de k-de reductie genoemd en kan worden berekend met behulp van de formules:_-1=1,A₀=b₀, In_-1=0.V₀=1, EEN_k=b_kA_k-1+a_kA_k-2, In_k=b_kB_k-1+a_kB_k-2; als de reeks reducten convergeert naar een eindige limiet, dan wordt de kettingbreuk convergent genoemd, anders is hij divergent; Een kettingbreuk wordt een rekenkundige if genoemd_i=1, blz₀ voltooid, b_i (i>0) – natuurlijk; rekenkundige kettingbreuk convergeert; elk reëel getal breidt zich uit tot een continue rekenkundige breuk, die alleen eindig is voor rationele getallen.

1. Een voorbeeld van het schrijven van Pi als een kettingbreuk

Algoritme van de Ramanujan-machine selecteert alle universele constanten voor de linkerkant en eventuele kettingbreuken voor de rechterkant, en berekent vervolgens elke zijde afzonderlijk met enige nauwkeurigheid. Als beide kanten elkaar lijken te overlappen, worden de hoeveelheden met grotere precisie berekend om ervoor te zorgen dat de match geen toeval of onnauwkeurigheid is. Wat belangrijk is, is dat er al formules zijn waarmee je bijvoorbeeld de waarde van universele constanten met enige nauwkeurigheid kunt berekenen, dus het enige obstakel bij het controleren van de naleving van de pagina's is de rekentijd.

Voordat dergelijke algoritmen konden worden geïmplementeerd, moesten wiskundigen een bestaand algoritme gebruiken. wiskundige kennis i stellingeneen dergelijke veronderstelling maken. Dankzij de automatische gissingen die door algoritmen worden gegenereerd, kunnen wiskundigen deze gebruiken om verborgen stellingen of meer ‘elegante’ resultaten te reconstrueren.

De meest opmerkelijke ontdekking van de onderzoekers is niet zozeer nieuwe kennis als wel een nieuwe veronderstelling van verrassend belang. Dit maakt het mogelijk berekening van de Catalaanse constante, een universele constante waarvan de waarde nodig is bij veel wiskundige problemen. Door het uit te drukken als een kettingbreuk onder een nieuw ontdekte aanname, zijn de snelste berekeningen tot nu toe mogelijk, waarmee eerdere formules worden verslagen die meer computerverwerkingstijd vereisten. Dit lijkt een nieuw vooruitgangspunt voor de informatica te markeren, vergeleken met de tijd waarin computers voor het eerst schakers versloegen.

Wat AI niet aankan

Machine-algoritmen Zoals je kunt zien, pakken ze sommige zaken op een innovatieve en effectieve manier aan. Geconfronteerd met andere problemen zijn ze hulpeloos. Een team onderzoekers van de Universiteit van Waterloo in Canada ontdekte een reeks problemen bij het gebruik machine learning. De ontdekking houdt verband met een paradox die halverwege de vorige eeuw werd beschreven door de Oostenrijkse wiskundige Kurt Gödel.

Wiskundige Shai Ben-David en zijn team presenteerden een machine learning-model genaamd maximale voorspelling (EMX) in een publicatie in het tijdschrift Nature. Een ogenschijnlijk eenvoudige taak bleek onmogelijk voor kunstmatige intelligentie. Probleem gesteld door het team Shai Ben-David komt neer op het voorspellen van de meest winstgevende reclamecampagne gericht op de lezers die de site het vaakst bezoeken. Het aantal mogelijkheden is zo groot dat een neuraal netwerk niet in staat is een functie te vinden die het gedrag van sitegebruikers correct kan voorspellen, aangezien het slechts over een kleine hoeveelheid gegevens beschikt.

Het blijkt dat sommige problemen van neurale netwerken gelijkwaardig zijn aan de continuümhypothese van Georg Cantor. De Duitse wiskundige bewees dat de macht van de reeks natuurlijke getallen kleiner is dan de macht van de reeks reële getallen. Vervolgens stelde hij een vraag die hij niet kon beantwoorden. Hij vroeg zich namelijk af of er een oneindige verzameling bestaat waarvan de kardinaliteit kleiner is dan de kardinaliteit reeks reële getallenmaar meer kracht verzameling natuurlijke getallen.

Oostenrijkse wiskundige uit de XNUMXe eeuw. Kurt Godel bewees dat de continuümhypothese onbeslisbaar is in het huidige wiskundige systeem. Nu blijkt dat wiskundigen die neurale netwerken ontwerpen met een soortgelijk probleem worden geconfronteerd.

Dus hoewel onzichtbaar voor ons, is het, zoals we zien, hulpeloos in het licht van fundamentele beperkingen. Wetenschappers vragen zich af of dit ook het geval is bij problemen van deze klasse, zoals bijvoorbeeld oneindige verzamelingen.