Coronavirus en wiskundeonderwijs - gedeeltelijk in opdracht gemaakte collecties

Het virus dat ons heeft getroffen, zorgt voor snelle onderwijshervormingen. vooral op de hogere onderwijsniveaus. Over dit onderwerp kun je een langer essay schrijven, er zal zeker een stroom proefschriften komen over de methodologie van afstandsonderwijs. Vanuit een bepaald oogpunt is dit een terugkeer naar de wortels en naar de vergeten gewoontes van zelfstudie. Zo was het bijvoorbeeld in de Kremenets middelbare school (in Kremenets, nu in Oekraïne, die bestond in 1805-31, tot 1914 begroeid was en zijn hoogtijdagen beleefde in 1922-1939). De studenten studeerden daar alleen - pas nadat ze hadden geleerd, kwamen de leraren binnen met correcties, laatste verduidelijkingen, hulp op moeilijke plaatsen, enz. e.Toen ik student werd, zeiden ze ook dat we zelf kennis moesten opdoen, dat alleen maar lessen bestellen en naar de universiteit sturen. Maar toen was het slechts een theorie...

In het voorjaar van 2020 was ik niet de enige die ontdekte dat lessen (o.a. hoorcolleges, oefeningen etc.) heel effectief op afstand gegeven kunnen worden (Google Meet, Microsoft Teams etc.), ten koste van veel werk aan de kant van de leraar en aan de andere kant alleen maar het verlangen om ‘een opleiding te volgen’; maar ook met enige troost: ik zit thuis, in mijn stoel, en bij traditioneel college waren studenten ook vaak met iets anders bezig. Het effect van een dergelijke training kan zelfs groter zijn dan bij het traditionele klassikale lessysteem, dat dateert uit de Middeleeuwen. Wat zal er van overblijven als het virus naar de hel gaat? Ik denk... best veel. Maar we zullen zien.

Vandaag zal ik het hebben over gedeeltelijk bestelde sets. Het is makkelijk. Omdat een binaire relatie in een niet-lege verzameling X een partiële-orderelatie wordt genoemd als die er wel is

(Tadeusz Kotarbinski, 1886-1981, filosoof,

Voorzitter van de Poolse Academie van Wetenschappen in 1957-1962).

1. Reflexief, d.w.z. voor elke ∈ is er “,
2. Voorbijganger, d.w.z. als ", en", dan ",
3. Semi-asymmetrisch, d.w.z. (“∧“)→ =

Een string is een set met de volgende eigenschap: voor twee willekeurige elementen is deze set "of y". Antiketen is...

Stop Stop! Kan hieruit iets worden begrepen? Natuurlijk is het. Maar heeft een van de lezers (die niet anders weten) al begrepen wat hier staat?

Denk niet! En dit is de canon van het wiskundeonderwijs. Ook op school. Eerst een fatsoenlijke, strikte definitie, en dan zullen degenen die niet in slaap vallen van verveling zeker iets begrijpen. Deze methode werd opgelegd door de ‘grote’ wiskundeleraren. Hij moet netjes en streng zijn. Het is waar dat het uiteindelijk zo moet zijn. Wiskunde zou een exacte wetenschap moeten zijn (zie ook: ).

Ik moet toegeven dat ik op de universiteit waar ik werk, na mijn pensionering aan de Universiteit van Warschau, ook vele jaren les heb gegeven. Alleen zat er de beruchte emmer koud water in (laat dat maar zo blijven: er was behoefte aan een emmer!). Plotseling werd hoge abstractie licht en aangenaam. Stel het punt vast: gemakkelijk betekent niet gemakkelijk. Ook de lichtgewicht bokser heeft het zwaar.

Ik zal glimlachen om mijn herinneringen. De grondbeginselen van de wiskunde leerde ik van de toenmalige decaan van de faculteit, een eersteklas wiskundige die net was aangekomen na een lang verblijf in de Verenigde Staten, wat op dat moment op zichzelf al iets buitengewoons was. Ik denk dat ze een beetje snobistisch was toen ze een beetje Pools vergat. Ze gebruikte het oude Poolse ‘dat’, ‘daarom’, ‘azale’ te veel en kwam met deze term: ‘semi-asymmetrische relatie’. Ik gebruik het graag, het is echt nauwkeurig. Ik hou van. Maar ik eis dit niet van studenten. Dit wordt gewoonlijk "lage antisymmetrie" genoemd. Tien mooie.

Lang geleden, want in de jaren zeventig (van de vorige eeuw) was er een grote, vreugdevolle hervorming van het wiskundeonderwijs. Dit viel samen met het begin van de korte periode van het bewind van Eduard Gierek - een zekere opening van ons land naar de wereld. "Kinderen kunnen ook hogere wiskunde worden onderwezen", riepen de Grote Leraren uit. Voor kinderen is een samenvatting gemaakt van het universiteitscollege "Fundamentals of Mathematics". Dit was niet alleen een trend in Polen, maar in heel Europa. Het oplossen van de vergelijking was niet genoeg, elk detail moest worden uitgelegd. Om niet ongegrond te zijn, kan elk van de lezers het stelsel vergelijkingen oplossen:

maar studenten moesten elke stap rechtvaardigen, verwijzen naar relevante uitspraken, enz. Dit was een klassieke overdaad aan vorm boven inhoud. Het is voor mij nu gemakkelijk om kritiek te leveren. Ook ik was ooit een voorstander van deze aanpak. Het is spannend... voor jonge mensen met een passie voor wiskunde. Dat was het zeker (en, ter wille van de aandacht, ik).

Maar genoeg lyrische uitweidingen, laten we ter zake komen: een college dat “theoretisch” bedoeld was voor tweedejaars polytechnische studenten en zonder dat college zo droog als kokosnootvlokken zou zijn geweest. Ik overdrijf een beetje...

Goede morgen voor jou. Het onderwerp van vandaag is gedeeltelijke reiniging. Nee, dit is geen hint van onzorgvuldig schoonmaken. De beste vergelijking zou zijn om te overwegen wat beter is: tomatensoep of slagroomtaart. Het antwoord is duidelijk: afhankelijk van wat. Als toetje - koekjes, en voor een voedzaam gerecht: soep.

In de wiskunde werken we met getallen. Ze zijn geordend: ze zijn groter en kleiner, maar als er twee verschillende getallen zijn, is de ene altijd kleiner, wat betekent dat de andere groter is. Ze zijn gerangschikt in volgorde, zoals letters in het alfabet. In het klassenlogboek zou de volgorde kunnen zijn: Adamczyk, Baginskaya, Chojnicki, Derkovski, Elget, Filipov, Grzecnik, Kholnicki (het zijn vrienden en klasgenoten uit mijn klas!). We twijfelen er ook niet aan dat Matusiak “Matusheliansky” Matuszewski “Matysiak. Het symbool voor "dubbele ongelijkheid" betekent "gaat vooraf".

In mijn wandelclub proberen we lijsten te maken in alfabetische volgorde, maar op naam, bijvoorbeeld Alina Wronska “Warwara Kaczarowska”, Cesar Boushitz, etc. In officiële rapporten zou de volgorde omgekeerd zijn. Wiskundigen noemen de alfabetische volgorde lexicografisch (een lexicon lijkt min of meer op een woordenboek). Aan de andere kant is deze volgorde, waarin we in een naam die uit twee delen bestaat (Michal Szurek, Alina Wronska, Stanislav Smarzynski) eerst naar het tweede deel kijken, een anti-lexicografische volgorde voor wiskundigen. Lange titels, maar zeer eenvoudige inhoud.

1. Lineaire volgorde: stations en haltes op de route van de Habovka - Zakopane-spoorlijn vanuit Podhale, gebouwd in 1899 (ik laat het decoderen van afkortingen over aan de lezer).

Al dergelijke orders worden lijnorders genoemd. We bestellen op volgorde: eerste, tweede, derde. Alles is in orde, van het eerste tot het laatste punt. Dit is niet altijd logisch. We rangschikken boeken in de bibliotheek immers niet zo, maar in secties. Alleen binnen de afdeling ordenen we het lineair (meestal alfabetisch).

2. Lineaire volgorde: bij het starten van de automotor voeren we handelingen uit in een afgesproken volgorde.

Bij grotere projecten, vooral teamwerk, hebben we geen lineaire volgorde meer. Laten we eens kijken afb. 3. We willen een klein hotel bouwen. We hebben al geld (cel 0). We bereiden vergunningen voor, verzamelen materialen, beginnen met de bouw en voeren tegelijkertijd een reclamecampagne, zoeken medewerkers, enzovoort. Als we bij “10” zijn, kunnen de eerste gasten inchecken (voorbeeld uit de verhalen van meneer Dombrowski en hun kleine hotel in de buitenwijken van Krakau). We hebben niet-lineaire orde – sommige dingen kunnen parallel gebeuren.

Bij economie leer je over het concept van het kritieke pad. Dit is de reeks acties die opeenvolgend moeten worden uitgevoerd (en dit wordt een ketting genoemd in wiskunde, daarover straks meer), en die de meeste tijd in beslag nemen. Het verkorten van de bouwtijd is een reorganisatie van het kritieke pad. Maar meer hierover in andere lezingen (ik herinner u eraan dat ik een "universitair college" aan het lezen ben). We richten ons op wiskunde.

Diagrammen zoals Figuur 3 worden Hasse-diagrammen genoemd (Helmut Hasse, Duitse wiskundige, 1898–1979). Elke complexe inspanning moet op deze manier worden gepland. We zien reeksen acties: 1-5-8-10, 2-6-8, 3-6, 4-7-9-10. Wiskundigen noemen ze strings. Het hele idee bestaat uit vier ketens. Activiteitengroepen 1-2-3-4, 5-6-7 en 8-9 zijn daarentegen antiketens. Zo heten ze. Feit is dat in een bepaalde groep geen van de acties afhankelijk is van de vorige.

4. Dit is ook een Hasse-diagram.

laten we gaan naar foto 4. Wat is indrukwekkend? Maar dit zou een metrokaart van een stad kunnen zijn! Ondergrondse spoorwegen zijn altijd gegroepeerd in lijnen - ze gaan niet van de een naar de ander. Lijnen zijn individuele lijnen. In de stad, rijst. 4 ja oven lijn (onthoud dat oven gespeld als “boldem” - in het Pools wordt het semi-dik genoemd).

In dit diagram (Fig. 4) is er een korte gele ABF, een ACFKPS met zes stations, een groene ADGL, een blauwe DGMRT en de langste rode. De wiskundige zal zeggen: op dit Hasse-diagram staat dat oven kettingen. Het staat op de rode lijn zeven station: AEINRUV. Hoe zit het met antiketens? Ze zijn hier zeven. Het is de lezer al opgevallen dat ik het woord twee keer heb onderstreept zeven.

Anticipatie Dit is zo'n reeks stations dat het onmogelijk is om zonder overstap van het ene naar het andere station te komen. Als we er een beetje achter komen, zullen we de volgende antichains zien: A, BCLTV, DE, FGHJ, KMN, PU, ​​​​SR. Controleer bijvoorbeeld of het vanaf een van de BCLTV-stations niet mogelijk is om naar een andere BCTLV te reizen zonder over te stappen, of beter gezegd: zonder terug te keren naar het hieronder weergegeven station. Hoeveel antiketens zijn er? zeven. Welke maat is de grootste? Bakken (opnieuw vetgedrukt).

U kunt zich voorstellen, studenten, dat het samenvallen van deze getallen niet toevallig is. Dit. Dit werd in 1950 ontdekt en bewezen (dat wil zeggen altijd waar) door Robert Palmer Dilworth (1914–1993, Amerikaanse wiskundige). Het aantal regels dat nodig is om de hele set te bestrijken is gelijk aan de grootte van de grootste antiketen, en omgekeerd: het aantal antiketens is gelijk aan de lengte van de langste antiketen. Dit gebeurt altijd in een gedeeltelijk geordende set, d.w.z. eentje die gevisualiseerd kan worden. Hassego-diagram. Dit is geen volledig strikte en correcte definitie. Dit is wat wiskundigen de ‘werkdefinitie’ noemen. Dit wijkt enigszins af van de "werkdefinitie". Dit is een hint voor het begrijpen van gedeeltelijk geordende sets. Dit is een belangrijk onderdeel van elke training: kijk hoe het werkt.

De Engelse afkorting is: dit woord klinkt prachtig in Slavische talen, een beetje zoals distel. Houd er rekening mee dat distels ook vertakt zijn.

Heel mooi, maar wie heeft het nodig? Jullie, beste studenten, hebben het nodig om te slagen voor het examen en waarschijnlijk is dit een goede reden om het te bestuderen. Ik luister, welke vragen? Ik luister, meneer, van onder het raam. Oh, de vraag is: zal dit ooit nuttig zijn voor de Heer in jouw leven? Misschien niet, maar zeker voor iemand die slimmer is dan jij... Misschien voor het analyseren van het kritieke pad in een complex economisch project?

Ik schrijf deze tekst midden juni, de rectorverkiezingen zijn aan de gang aan de Universiteit van Warschau. Ik heb verschillende opmerkingen van internetgebruikers gelezen. Er is verrassend veel haat (of "haat") jegens "opgeleide mensen". Iemand schreef botweg dat mensen met een universitaire opleiding minder weten dan mensen met een universitaire opleiding. Ik ga uiteraard niet in op de discussie. Ik ben gewoon verdrietig dat de gevestigde mening in de Poolse Volksrepubliek terugkeert dat alles met een hamer en een beitel kan. Ik keer terug naar de wiskunde.

De stelling van Dillworth heeft verschillende interessante toepassingen. Eén ervan staat bekend als de huwelijksstelling.afb. 6). 

Er is een groep vrouwen (waarschijnlijker meisjes) en een iets grotere groep mannen. Elk meisje denkt zoiets als dit: "Ik zou met deze, deze, deze kunnen trouwen, maar nooit met een derde in mijn leven." En zo heeft iedereen zijn eigen voorkeuren. We tekenen een diagram, dat naar elk van hen een pijl leidt van de man die hij niet afwijst als kandidaat voor het altaar. Vraag: Kunnen paren bij elkaar worden gebracht, zodat ieder een echtgenoot vindt die zij accepteert?

De stelling van Philip Hall, zegt dat dit kan - onder bepaalde voorwaarden, die ik hier niet zal bespreken (dan bij het volgende college, studenten alstublieft). Merk echter op dat mannelijke tevredenheid hier helemaal niet wordt genoemd. Zoals u weet, zijn het vrouwen die voor ons kiezen, en niet andersom, zoals het ons lijkt (ik herinner u eraan dat ik een auteur ben, geen auteur).

Een serieuze wiskunde. Hoe volgt de stelling van Hall uit Dilworth? Het is heel simpel. Laten we nog eens kijken naar figuur 6. De kettingen daar zijn erg kort: ze hebben een lengte van 2 (lopend in de richting). Een stel mannetjes is een antiketting (juist omdat de pijlen alleen richting gericht zijn). Zo kun je de hele collectie bedekken met evenveel antikettingen als er mannen zijn. Dus elke vrouw zal een pijl hebben. En dat betekent dat ze kan lijken op de man die ze accepteert!!!

Wacht, iemand vraagt, is dat alles? Is het allemaal app? Hormonen kunnen op de een of andere manier met elkaar opschieten en waarom wiskunde? Ten eerste is dit niet de hele applicatie, maar slechts één van een grote serie. Laten we naar een van hen kijken. Laat (Fig. 6) geen vertegenwoordigers van het betere geslacht betekenen, maar eerder prozaïsche kopers, en dit zijn merken, bijvoorbeeld auto's, wasmachines, afslankproducten, aanbiedingen van reisbureaus, enz. Elke koper heeft merken die hij accepteert en verwerpt. Kan er iets worden gedaan om aan iedereen iets te verkopen en hoe? Hier eindigen niet alleen de grappen, maar ook de kennis van de auteur van het artikel over dit onderwerp. Ik weet alleen dat de analyse is gebaseerd op vrij complexe wiskunde.

Wiskunde onderwijzen op school is algoritmen onderwijzen. Dit is een belangrijk onderdeel van de opleiding. Maar beetje bij beetje gaan we niet zozeer in de richting van het onderwijzen van wiskunde als wel van de wiskundige methode. De lezing van vandaag ging precies hierover: we praten over abstracte mentale constructies, we denken na over het dagelijks leven. We hebben het over ketens en antiketens in sets met inverse, transitieve en andere relaties die we gebruiken in koper-verkopermodellen. De computer zal alle berekeningen voor ons doen. Hij zal nog geen wiskundige modellen maken. We winnen nog steeds met ons denken. Ik hoop in ieder geval zo lang mogelijk!