Lem, Tokarczuk, Krakau, wiskunde
Technologie

Lem, Tokarczuk, Krakau, wiskunde

Op 3-7 september 2019 vond het jubileumcongres van de Poolse Mathematical Society plaats in Krakau. Jubileum, wegens de honderdste verjaardag van de oprichting van de Maatschappij. Het bestond in Galicië vanaf de 1e jaren (zonder het bijvoeglijk naamwoord dat het Pools-liberalisme van keizer FJ1919 zijn grenzen had), maar als landelijke organisatie opereerde het pas vanaf 1919. Grote vorderingen in de Poolse wiskunde gaan terug tot de jaren 1939 XNUMX-XNUMX. XNUMX aan de Jan Casimir Universiteit in Lviv, maar de conventie kon daar niet plaatsvinden – en dat is ook geen goed idee.

De bijeenkomst was zeer feestelijk, vol met bijbehorende evenementen (waaronder een optreden van Jacek Wojcicki in het kasteel in Niepolomice). De hoofdlezingen werden gehouden door 28 sprekers. Ze waren in het Pools omdat de genodigden Polen waren - niet noodzakelijkerwijs in de zin van burgerschap, maar omdat ze zichzelf erkenden als Polen. Oh ja, slechts dertien docenten kwamen van Poolse wetenschappelijke instellingen, de overige vijftien kwamen uit de VS (7), Frankrijk (4), Engeland (2), Duitsland (1) en Canada (1). Nou, dit is een bekend fenomeen in voetbalcompetities.

De besten treden constant op in het buitenland. Het is een beetje triest, maar vrijheid is vrijheid. Verschillende Poolse wiskundigen hebben carrières in het buitenland gemaakt die in Polen onbereikbaar zijn. Geld speelt hier een ondergeschikte rol, maar over dergelijke onderwerpen wil ik niet schrijven. Misschien maar twee opmerkingen.

In Rusland, en daarvoor in de Sovjet-Unie, was en is dit op het meest bewuste niveau ... en op de een of andere manier wil niemand daarheen emigreren. Op hun beurt solliciteren in Duitsland ongeveer een dozijn kandidaten voor een hoogleraarschap aan een universiteit (collega's van de Universiteit van Konstanz zeiden dat ze in een jaar 120 sollicitaties hadden, waarvan 50 zeer goed en 20 uitstekend).

Weinig lezingen van het Jubileumcongres kunnen worden samengevat in ons maandblad. Koppen als "Limits of Sparse Graphs and Their Applications" of "Linear Structure and Geometry of Subspaces and Factor Spaces for High-Dimension Normalized Spaces" zullen de gemiddelde lezer niets vertellen. Het tweede onderwerp werd geïntroduceerd door mijn vriend uit de eerste cursussen, Nicole Tomchak.

Enkele jaren geleden werd ze genomineerd voor de prestatie die in deze lezing wordt gepresenteerd. Fields-medaille is het equivalent voor wiskundigen. Tot nu toe heeft slechts één vrouw deze onderscheiding ontvangen. Vermeldenswaard is ook de lezing Anna Marciniak-Chohra (Universiteit van Heidelberg) "De rol van mechanistische wiskundige modellen in de geneeskunde naar het voorbeeld van modellering van leukemie".

geneeskunde binnengekomen. Aan de Universiteit van Warschau heeft een groep onder leiding van prof. Jerzy Tyurin.

De titel van de lezing zal onbegrijpelijk zijn voor lezers Veslava Niziol (z prestiżowej Hogere Pedagogische School) “-adische Hodge-theorie". Toch is het deze lezing die ik hier wil bespreken.

Geometrie -adische werelden

Het begint met simpele kleine dingen. Herinnert u zich, lezer, de methode van schriftelijke uitwisseling? Zeker. Denk eens terug aan de zorgeloze jaren op de basisschool. Deel 125051 door 23 (dit is de actie aan de linkerkant). Weet je dat het ook anders kan (actie rechts)?

Deze nieuwe methode is interessant. Ik ga vanaf het einde. We moeten 125051 delen door 23. Wat hebben we nodig om 23 te vermenigvuldigen zodat het laatste cijfer 1 is? Zoeken in het geheugen en we hebben :=7. Het laatste cijfer van het resultaat is 7. Vermenigvuldigen, aftrekken, we krijgen 489. Hoe vermenigvuldig je 23 om 9 te krijgen? Natuurlijk met 3. We komen op het punt waarop we alle getallen van het resultaat bepalen. We vinden het onpraktisch en moeilijker dan onze gebruikelijke methode - maar het is een kwestie van oefenen!

Dingen nemen een andere wending wanneer de dappere man niet volledig wordt gedeeld door de deler. Laten we de deling doen en kijken wat er gebeurt.

Links is een typische schoolbaan. Aan de rechterkant is "onze vreemde".

We kunnen beide resultaten controleren door te vermenigvuldigen. We begrijpen het eerste: een derde van het getal 4675 is duizend vijfhonderd achtenvijftig, en drie in de periode. De tweede klopt niet: wat is dit getal voorafgegaan door een oneindig aantal zessen en dan 8225?

Laten we de vraag naar de betekenis even laten rusten. Laten we gaan spelen. Dus laten we 1 delen door 3 en dan 1 door 7 wat een derde en een zevende is. We kunnen gemakkelijk krijgen:

1:3=…6666667, 1/7=…(285714)3.

Deze laatste regel betekent: blok 285714 herhaalt zich voor onbepaalde tijd aan het begin, en uiteindelijk zijn het er drie. Voor degenen die het niet geloven, hier is een test:

Laten we nu breuken optellen:

Dan tellen we de ontvangen vreemde nummers op, en we krijgen (controleren) hetzelfde vreemde nummer.

......95238095238095238095238010

We kunnen controleren of dit gelijk is aan

De kern moet nog worden gezien, maar de rekenkunde is correct.

Nog een voorbeeld.

Het gebruikelijke, zij het grote, nummer 40081787109376 heeft een interessante eigenschap: het vierkant eindigt ook op 40081787109376. het nummer x40081787109376, dat is ( x40081787109376)2 eindigt ook op x40081787109376.

Tip. We hebben 400817871093762= 16065496 57881340081787109376, dus het volgende cijfer is het complement van drie tot tien, dat is 7. Laten we eens kijken: 7400817871093762= 5477210516110077400817 87109376.

De vraag waarom dit zo is, is een lastige. Het is gemakkelijker: vind soortgelijke eindes voor nummers die eindigen op 5. Als we het proces van het vinden van de volgende cijfers voor onbepaalde tijd voortzetten, komen we bij zulke "nummers" dat 2=2= (en geen van deze getallen is gelijk aan nul of één).

wij begrijpen het goed. Hoe verder achter de komma, hoe minder belangrijk het getal is. Bij technische berekeningen is het eerste cijfer na de komma belangrijk, evenals het tweede, maar in veel gevallen kan worden aangenomen dat de verhouding van de omtrek van een cirkel tot zijn diameter 3,14 is. Natuurlijk moeten er meer nummers in de luchtvaart worden opgenomen, maar ik denk niet dat het er meer dan tien zullen zijn.

De naam verscheen in de titel van het artikel Stanislav Lem (1921-2006), evenals onze nieuwe Nobelprijswinnaar. Dame Olga Tokarchuk Ik noemde dit alleen omdat schreeuwend onrechtFeit is dat Stanislav Lem de Nobelprijs voor de Literatuur niet heeft ontvangen. Maar het is niet in onze hoek.

Lem voorzag vaak de toekomst. Hij vroeg zich af wat er zou gebeuren als ze onafhankelijk zouden worden van mensen. Hoeveel films over dit onderwerp zijn er de laatste tijd niet verschenen! Lem voorspelde en beschreef vrij nauwkeurig de optische lezer en de farmacologie van de toekomst.

Hij kende wiskunde, hoewel hij het soms als een sieraad behandelde, zonder zich druk te maken over de juistheid van de berekeningen. In het verhaal "Trial" gaat de Pirks-piloot bijvoorbeeld in een baan om B68 met een rotatieperiode van 4 uur en 29 minuten, en de instructie is 4 uur en 26 minuten. Hij herinnert zich dat ze rekenden met een fout van 0,3 procent. Hij geeft de gegevens aan de rekenmachine en de rekenmachine antwoordt dat alles in orde is ... Nou, nee. Drie tienden van een procent van 266 minuten is minder dan een minuut. Maar verandert deze fout iets? Misschien was het met opzet?

Waarom schrijf ik hierover? Veel wiskundigen hebben deze vraag ook gesteld: stel je een gemeenschap voor. Ze hebben niet onze menselijke geest. Voor ons zijn 1609,12134 en 1609,23245 zeer dicht bij elkaar liggende getallen - goede benaderingen van de Engelse mijl. Computers kunnen de nummers 468146123456123456 en 9999999123456123456 echter als dichtbij beschouwen. Ze hebben dezelfde twaalfcijferige eindes.

Hoe vaker cijfers aan het einde, hoe dichter de nummers bij elkaar staan. En dit leidt tot de zogenaamde afstand -adisch. Laat p even gelijk zijn aan 10; waarom slechts "voor een tijdje", ik zal uitleggen ... nu. De afstand van 10 punten van de hierboven geschreven getallen is 

of een miljoenste - omdat deze nummers aan het eind zes gemeenschappelijke cijfers hebben. Alle gehele getallen verschillen één of minder van nul. Ik zal niet eens een sjabloon schrijven omdat het er niet toe doet. Hoe meer identieke nummers aan het einde, hoe dichterbij de nummers (voor een persoon daarentegen worden de beginnummers beschouwd). Het is belangrijk dat p een priemgetal is.

Dan - ze houden van nullen en enen, dus ze zien alles in deze patronen: 0100110001 1010101101010101011001010101010101111.

In de roman Glos Pana huurt Stanisław Lem wetenschappers in om te proberen een bericht te lezen dat vanuit het hiernamaals is verzonden, natuurlijk gecodeerd nul-een. Schrijft iemand ons? Lem stelt dat "elk bericht kan worden gelezen als het een bericht is dat iemand ons iets wilde vertellen." Maar is het? Met dit dilemma laat ik de lezers achter.

We leven in een XNUMXD-ruimte R3. Brief R herinnert eraan dat de assen bestaan ​​uit reële getallen, d.w.z. gehele getallen, negatief en positief, nul, rationeel (d.w.z. breuken) en irrationeel, die lezers op school hebben ontmoet (), en getallen die bekend staan ​​als transcendentale getallen, ontoegankelijk in de algebra (dit is het getal π , die al meer dan tweeduizend jaar de diameter van een cirkel verbindt met zijn omtrek).

Wat als de assen van onze ruimte -adische getallen waren?

Jerzy Mioduszowski, een wiskundige aan de Universiteit van Silezië, betoogt dat dit zo zou kunnen zijn, en zelfs dat het zo zou kunnen zijn. We kunnen (zegt Jerzy Mioduszewski) dezelfde plaats in de ruimte innemen met zulke wezens, zonder tussenbeide te komen en zonder elkaar te zien.

We hebben dus alle geometrie van "hun" wereld om te verkennen. Het is onwaarschijnlijk dat "zij" op dezelfde manier over ons denken en ook onze geometrie bestuderen, omdat de onze een grensgeval is van al "hun" werelden. "Hen", dat wil zeggen, alle helse werelden, waar ze priemgetallen zijn. In het bijzonder = 2 en deze fascinerende wereld van nul-één ...

Hier kan de lezer van het artikel boos en zelfs boos worden. "Is dit het soort onzin dat wiskundigen doen?" Ze fantaseren over het drinken van wodka na het eten, met mijn (=belastingbetaler) geld. En verspreid ze in vier windstreken, laat ze naar staatsboerderijen gaan ... oh, er zijn geen staatsboerderijen meer!

Ontspannen. ze hadden altijd een voorliefde voor zulke grappen. Laat me alleen de sandwich-stelling noemen: als ik een boterham met kaas en ham heb, kan ik die in één keer snijden om het broodje, de ham en de kaas te halveren. Dit is in de praktijk nutteloos. Het punt is dat dit slechts een speelse toepassing is van een interessante algemene stelling uit de functionele analyse.

Hoe serieus is het om met -adische getallen en gerelateerde meetkunde om te gaan? Laat me de lezer eraan herinneren dat rationele getallen (simplistisch gezegd: breuken) dicht op de lijn liggen, maar deze niet precies vullen.

Irrationele getallen leven in "gaten". Er zijn er veel, oneindig veel, maar je kunt ook zeggen dat hun oneindigheid groter is dan die van de eenvoudigste, waarin we tellen: één, twee, drie, vier ... enzovoort tot ∞. Dit is onze menselijke vulling van "gaten". We hebben deze mentale structuur geërfd van Pythagoreeërs

Maar wat voor een wiskundige interessant en belangrijk is, is dat men deze gaten niet kan "vullen" met irrationele en p-adische getallen (voor alle priemgetallen p). Voor de lezers die dit begrijpen (en dit werd dertig jaar geleden op elke middelbare school onderwezen), gaat het erom dat elke reeks die voldoet aan Cauchy's toestand, convergeert.

Een ruimte waarin dit waar is, wordt compleet genoemd ("er ontbreekt niets"). Ik zal het nummer 547721051611007740081787109376 onthouden.

De reeks 0,5, 0,54, 0,547, 0,5477, 0,54772 enzovoort convergeert naar een bepaalde limiet, die ongeveer 0,5477210516110077400 81787109376 is.

Echter, vanuit het oogpunt van de 10-adische afstand convergeert de reeks getallen 6, 76, 376, 9376, 109376, 7109376 enzovoort ook naar het "vreemde" getal ... 547721051 611007740081787109376.

Maar zelfs dat is misschien niet genoeg reden om wetenschappers publiek geld te geven. Over het algemeen verdedigen wij (wiskundigen) ons door te zeggen dat het onmogelijk is te voorspellen waar ons onderzoek nuttig voor zal zijn. Het is vrijwel zeker dat iedereen van enig nut zal zijn en dat alleen actie op een breed front kans van slagen heeft.

Een van de grootste uitvindingen, de röntgenmachine, is gemaakt nadat per ongeluk radioactiviteit was ontdekt Becquerel. Zonder dit geval zouden vele jaren onderzoek waarschijnlijk nutteloos zijn geweest. "We zoeken naar een manier om een ​​röntgenfoto van het menselijk lichaam te maken."

Tot slot het allerbelangrijkste. Iedereen is het erover eens dat het vermogen om vergelijkingen op te lossen een rol speelt. En hier zijn onze vreemde nummers goed beschermd. De bijbehorende stelling (Ik haat Minkowski) zegt dat sommige vergelijkingen kunnen worden opgelost in rationale getallen als en slechts als ze echte wortels en wortels hebben in elk -adisch lichaam.

Min of meer deze aanpak is gepresenteerd Andreas Wiles, die de beroemdste wiskundige vergelijking van de afgelopen driehonderd jaar oploste - ik raad lezers aan om deze in een zoekmachine in te voeren "De laatste stelling van Fermat".

Voeg een reactie